师：同学们好，今天这堂课我们将共同学习 9.3 节分式方程第一课时。在前面几节课中，我们已经学习过 9.1 节分式及其基本性质、9.2 节分式的运算。同学们还记得本章章前图中的问题吗？我们一起来看。为满足经济高速发展需求，我国铁路部门不断技术革新，提高列车运行速度。在相距 1600 千米的两地之间，一列车速度提高 25%后，运行时间缩短了 4 小时。大家想想，能求出列车提速前的速度吗？在这个问题中涉及到哪些量呢？有路程、速度和时间，而且这三个量又涉及提速前和提速后。我们用一个表格来梳理一下。提速前路程是 1600 千米，速度发生变化，但路程不变，所以提速后路程仍是 1600 千米。这里速度(v)是未知量，我们用字母(x)表示，设列车提速前速度为(x)千米每小时。那么提速后的速度呢？注意题目表述，速度提高 25%，所以提速后的速度可表示为((1 + 25%)x)。时间又该怎么表达呢？因为速度乘以时间等于路程，所以时间等于路程除以速度。提速前的时间为(\frac{1600}{x})，提速后的时间则为(\frac{1600}{(1 + 25%)x})。每个量我们都准确表达出来了。
师：再来看看题目中还有什么数量关系？运行时间缩短了 4 小时，也就是提速前的时间比提速后的时间多 4 小时。我们可以表示成(\frac{1600}{x} - \frac{1600}{(1 + 25%)x} = 4)。同学们看看，这个方程是一元一次方程吗？显然不是。那和我们学的一元一次方程相比，它有什么区别呢？注意到这个方程中分母含有未知数，有些项是以分式形式呈现的。我们把这一类分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程在现实生活中有广泛应用，我们刚才就经历了从实际问题抽象概括出分式方程这一数学化过程。
师：下面这几个关于(x)的方程，其中分式方程有几个呢？大家仔细看。(\frac{1}{x} + x = 1)，分母中有未知数；(\frac{x}{3} + \frac{3}{4}x = \frac{2}{5})，分母中不含未知数，它是整式方程，是一元一次方程；(\frac{x - 1}{1} = \frac{14}{x})，分母中含有未知数；(\frac{x^2 + 1}{x + 1} = 2)，分母中含有未知数。由此可见，这里有三个方程是分式方程，只有(\frac{x}{3} + \frac{3}{4}x = \frac{2}{5})不是分式方程，它是整式方程。我们明确了分式方程的概念，接下来思考如何解分式方程。
师：同学们回忆一下，我们学过一元一次方程和二元一次方程组的解法。这个方程也含有一个未知数，能不能借鉴一元一次方程的解法呢？一元一次方程的解法主要有去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为一这些过程。观察这个方程，第一项分母为(x)，第二项分母为((1 + 25%)x)，也就是(\frac{5}{4}x)。我们能不能去掉分母呢？如果要去分母，就要将方程两边同时乘以最简公分母(\frac{5}{4}x)。大家一起来试试看。方程两边同乘以最简公分母(\frac{5}{4}x)，得到(2000 - 1600 = 5x)。这时原方程变为我们熟悉的整式方程，也是一元一次方程。我们可以求得该整式方程的解为(x = 80)。那么这个解是不是原分式方程的解呢？我们把这个解代入原分式方程检验一下。
师：当(x = 80)时，代入上述分式方程的左边，(\frac{1600}{80} - \frac{\frac{5}{4}×1600}{80} = 4)。可见(x = 80)是原分式方程的解，这样就解决了刚才的问题，列车提速前的速度为 80 千米每小时。这里关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程来解决。那我们再看下面这个分式方程，还是这样解吗？仔细观察，分母是(x - 3)和(3 - x)，二者互为相反数，我们可以取最简公分母(x - 3)。先将方程两边同时乘以(x - 3)，得到(2 - x = -1 - 2(x - 3))。这里要注意，(\frac{1}{3 - x})乘以(x - 3)时，符号要变化。这样也变成了一个整式方程，解得(x = 3)。同样我们把这个解代入原方程，看看是否满足。
师：当(x = 3)时，发现原方程分母(x - 3 = 0)。分母不能为(0)，分母为(0)时分式无意义，所以(x)不能取(3)。这是怎么回事呢？是解整式方程出错了吗？我们把(x = 3)代入整式方程，左边等于(-1)，右边也等于(-1)。(x = 3)是整式方程的解，但不满足原分式方程，问题出在哪呢？回顾一下，我们将分式方程两边同时乘以整式(x - 3)。原分式方程有分母，有限制条件分母不能为(0)，去掉分母后，整式方程没有这个限制条件，(x)的取值范围扩大了。而且同乘的(x - 3)这个整式有可能为(0)。所以整式方程的解不是原分式方程的解，我们把这样的解叫做分式方程的增根。增根是指原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根。我们梳理一下，刚才为什么会产生增根呢？因为分式方程两边同乘以公分母化为整式方程后，去掉了原分式方程分母不为(0)的限制条件，(x)的取值范围扩大了，而同乘的公分母是整式，其值可能为(0)。这和一元一次方程解法不同，一元一次方程去分母时，两边同乘的是不为(0)的数，而这里同乘的是整式。所以解分式方程一定要检验，只有通过检验才能确定整式方程的解是不是原分式方程的根。下面我们来解一个分式方程(\frac{x - 1}{x + 3} - 2 = \frac{x}{3 - x})。
师：首先观察分母有(x + 3)和(3 - x)，为计算方便，取最简公分母((x + 3)(x - 3))。将方程两边同乘以该最简公分母，得到((x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3) = -x(x + 3))。展开整理这个方程，(x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 18 = -x^2 - 3x)，解整式方程可得(x = 21)。接下来检验，看(x = 21)是不是原分式方程的解。因为增根是由于同乘以最简公分母导致的，所以只需把(x = 21)代入最简公分母((x + 3)(x - 3))，此时((x + 3)(x - 3) \neq 0)，所以(x = 21)是原方程的解。反之，如果代入最简公分母为(0)，这个解就是增根。
师：同学们，通过以上解方程的过程，能总结出解分式方程的步骤吗？首先将方程两边同乘最简公分母化为整式方程；然后解这个整式方程；接着检验，把整式方程的解代入原方程的最简公分母，看是否为(0)，若为(0)，则为增根舍去，若不为(0)，则是原分式方程的解；最后下结论，舍去使公分母为(0)的增根。我们可以概括为这四个步骤：去分母，方程两边都乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解方程，解这个整式方程；验根，把整式方程的解代入最简公分母；下结论，舍去增根。这里要提醒同学们，找最简公分母时要准确，常数项出现不要漏乘最简公分母，分数线有括号的作用。当然特别要注意，可能产生增根是因为去分母，所以解分式方程一定要有检验步骤。