师：同学们好，请大家做好准备，开始今天的数学学习。前面我们学习了整式的乘法，大家觉得学完整式的乘法，接下来该学什么内容呢？我们先回顾一下数的学习过程，看看能否从中得到启发。小学阶段，我们学习了整数的运算，在学习整数除法运算时，认识了因数、公因式、分解质因数等概念。学完这些后，我们进入了分数运算的学习。类比数的运算，学完整式运算后，我们将要学习分式的运算。当然，在学习分式运算之前，我们需要一些知识储备，那就是认识因式、公因式和分解因式，这也是今天这节课老师要和同学们一起学习的内容。
我们知道，6 = 2×3，2和3就叫做6的因数。8 = 2×4，所以2和4也是8的因数。这里的2是6和8的公因数，也是它们的最大公因数。类比这些，大家能回答老师下面的问题吗？2A除了1和它本身，还有其他的因数或者因式吗？前面我们学习过，单独的一个数或一个字母都叫做单项式，也就是整式。所以2A除了1和它本身之外，还有因式2和A。同理，MA的因式是M和A，MB的因式是M和B。那么M×(A + B)含有的因式又是什么呢？对，是M和A + B。通过以上，我们可以归纳出：几个整式相乘，每个整式就叫做它们积的因式。
对于一个多项式MA + MB + MC，各项的公因式是什么呢？我们来看，MA可以看成M×A，MB可以看成M×B，MC可以看成M×C。不难发现，它们都含有相同的因式M，M就叫做各项的公因式。通过前面单项式乘以多项式的知识，我们知道M×(A + B + C)= MA + MB + MC，这是整式的乘法。从左向右看，这个等式依然成立，我们可以把这个多项式写成单项式M乘以多项式(A + B + C)的形式，这里的M是公因式，多项式(A + B + C)也是这个多项式的一个因式。这样的变形过程我们叫做因式分解。因式分解是整式乘法的逆运算。我们来看一下它的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，就叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
了解了定义，接下来请大家判断一下下面的式子变形是不是因式分解。要判断是否是因式分解，咱们先回顾一下定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式。
来看第一题：x2 + 2x + 1 = x×(x + 2)+ 1。根据定义，我们要把多项式化为几个整式的积的形式，而这里等号右边不仅有积的形式，还有和的形式，所以它不是因式分解。
看第2小题：m2 - 2m + 4 = m×(m - 2)+ 4/m。我们先看运算是否正确，大家可以用前面学过的整式乘法知识，将等号右边的单项式乘以多项式展开，看是否等于左边的式子。运算后发现，这样的运算是没问题的。但它是因式分解吗？虽然它是积的形式，可最后一项括号里的4/m，分母中含有字母m，它不是整式，所以这样的变形也不是因式分解。
继续看第三题：3x2×(x + y)= 3x3 + 3x2y，大家会发现这就是前面学的单项式乘以多项式，所以它是整式乘法，不是因式分解。
接下来看第4小题：2a2 - 4ab = 2a×(a - 2b)。我们先用整式乘法检验一下，去括号后发现等式成立。那它符合因式分解的定义吗？这里2a是单项式，a - 2b是多项式，符合几个整式积的形式，所以它是因式分解。再看这个式子，观察2a，多项式2a2 - 4ab的第一项可以写成2a×a，第二项可以写成2a×(-2b)，所以2a是两项的公因式。看来，只要正确找出公因式，我们就能对这样的多项式进行因式分解。
我们来看下面一道练习，找出下列多项式中的公因式。
先看第一小题：NP - NQ，观察发现第一项含有因式N，第二项也含有因式N，所以各项的公因式是字母N。
看第二小题：6x3 - 18x2。先看系数，第一项系数是6，第二项系数是 - 18，6和18的最大公因数是6。两项都含有相同字母x，第一项x的次数是3次，第二项x的次数是2次。第一项可写成6x2×x，第二项可写成6x2×(-3)，所以公因式是6x2。可能有同学会问，为什么这里不能找公因式6x3呢？如果将第一项写成6x3×1，那么第二项就要写成6x3×(- 3/x)，这不符合前面所说的因式分解。
继续看第三小题： - 7a2 + 21a。7与21的最大公因数是7，两项都含有相同字母a，且是按字母a的降幂排列，所以公因式应该是7a。观察第一项，系数为负，所以公因式也可认为是 - 7a。这里老师提醒同学们，当多项式第一项为负时，一般认为公因式为负，这样方便后续运算。
好，看第四小题：三项都含有字母x和y，x的最低次幂是一次，y的最低次幂也是一次，所以很容易想到xy。再根据第3小题提到的注意事项，应该找到公因式为 - xy，保证首项系数为正。
看来，找出公因式可以分三步：第一步定系数，找出各项的最大公因数；第二步定字母，找出所含相同的字母；第三步定字母的指数，找到相同字母的最低次幂，这样就能方便地找到最大公因式。像这类每项都含有相同因式的多项式，我们可以把这个公因式提取到括号外面，写成两个整式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
接下来看一道例题，用提公因式法对多项式进行分解因式。
先看第一小题：4m2 - 8mn，这是一个二项式，第一项是4m2，第二项是 - 8mn。有系数，先定系数，4与8的最大公因数是4，两项都含有相同字母m，且m的最低次幂是一次，所以公因式为4m。将第一项写成4m×m，第二项写成4m×(-2n)，中间用减号连接，这样就可以提取公因式4m，第一项剩m，第二项剩 - 2n，写成4m×(m - 2n)的形式。
大家能模仿老师刚才的做法，看看第2小题该如何提取公因式吗？
来看第2小题，这是一个三项式。先观察系数3、6、3，最大公因数是3。接着找所含相同字母，很明显是a，且a都是一次，所以可以提取公因式3a。将每一项写成3a乘以另外一个因式的形式，第一项写成3a×x2，第二项写成 - 3a×2xy，第三项写成 + 3a×1，注意这里的1不能漏项。这样就可以提取3a放到括号外面，括号里剩下的x2 - 2xy + 1作为另一个因式。
我们归纳一下，对于一个多项式提取公因式，可以分三步：第一步看系数，找到各项的最大公因数；第二步找相同字母，取最低次幂；第三步提公因式，简单说成“一看二找三提”。回过头看一二两小题，我们提取的公因式都是单项式，那么公因式有可能是多项式吗？
来看下一道例题。
例3，把下列各式分解因式。