师：同学们好，本节课我们将共同学习 8.3 节完全平方公式与平方差公式的第二课时。首先，我们来解决这样一个问题：通过多项式乘法计算((a + b)(a - b))。这是两个二项式相乘，可以利用多项式与多项式的乘法法则，将((a + b))与((a - b))中的每一项分别相乘，再把所得的积相加，最后得到结果(a^2 - b^2)。
在这个问题中，我们得到结论：((a + b)(a - b)=a^2 - b^2)。式子左边是两个特殊的多项式乘法，由于这种乘法在今后经常会遇到，所以我们把这个结论作为一个公式直接使用。公式右边是两个数平方的差的形式，所以我们称它为平方差公式。
同学们，能用文字语言描述一下平方差公式吗？我们观察到，公式左边是两个数的和与这两个数差的乘积，右边是这两个数的平方差。所以，平方差公式可以叙述为：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
在上一节课探究完全平方公式的过程中，我们曾借助几何图形的面积求法对公式进行解释、验证。现在，能否借助类似的方法，构造合适的几何图形来验证平方差公式呢？请同学们在草稿纸上画一画、试一试。
公式右边是两个数平方的差，可以理解为几何图形中两个正方形的面积。比如，在边长为(a)的正方形内部，除去一个边长为(b)的小正方形，此时剩余部分面积即为(a^2 - b^2)。现在关键是，如何将该部分图形的面积，也用公式左边((a + b)(a - b))这种形式表示呢？
同样，我们可以考虑采用割补法对图形面积进行再次求解。怎么割补呢？如图，我们将该图形分割成上下两个长方形，发现上面长方形的长和下面长方形的宽都等于(a - b)。因此，可以将这两个长方形按照下面这种方式拼接，形成一个大长方形。这个长方形的长为(a + b)，宽为(a - b)，面积就可以表示成((a + b)(a - b))，从而对平方差公式进行了几何验证。
当然，大家还有其他方法对该图形进行分割拼接吗？再尝试一下。我们还可以将这个图形按照这种方式分割成两个上底为(b)、下底为(a)、高是(a - b)的直角梯形。那又如何将这两个直角梯形拼接成一个完整的、面积可以用((a + b)(a - b))表示的几何图形呢？
第一种方法，将两个直角梯形沿分割线拼成这样一个长方形，我们发现它的长是(a + b)，宽就是梯形的高(a - b)，面积可以表示为((a + b)(a - b))。
第二种方式，将这两个直角梯形沿着图中的高线拼成这样的一个平行四边形。与原图形比较，观察这个平行四边形的一边长是(a + b)，这条边上的高也是梯形的高(a - b)。利用平行四边形的面积公式，也可以计算出它的面积是((a + b)(a - b))。
第三种方式，将这两个直角梯形拼成如图所示的较大的梯形。能观察出这个较大梯形的上底、下底和高分别是多少吗？与原图形对比观察，上底是(b)，下底是(a)，高是(a - b)。根据梯形的面积公式“（上底 + 下底）×高÷2”，化简计算结果也可以得到平方差公式左边的形式。
以上分割拼接的方法，都可以从面积的角度对平方差公式进行解释验证。同学们课下还可以尝试其他割补求解的方法。
好，了解了平方差公式的结构，如何利用平方差公式解决这一类的运算呢？请看例题。
第一题：((x^2 + y)(x^2 - y))。要使用平方差公式解决运算，需要明确在具体问题中(a)、(b)所表示的内容，与平方差公式对应。通过观察发现，这个乘法可以看作是(x^2)与(y)的和乘以(x^2)与(y)的差，它的结果就等于(x^2)与(y)的平方差，最后化简等于(x^4 - y^2)。
第二题：(( - m + n)( - m - n))。这两个二项式相乘，可以看作是哪两个数的和乘以哪两个数的差呢？通过观察发现，它可以看作是(-m)与(n)的和乘以(-m)与(n)的差，其结果等于(-m)与(n)的平方差。再次提醒大家，写(-m)的平方时要带上括号。最后化简等于(m^2 - n^2)。
第三题：((x + 3)(x - 3)(x^2 + 9))。这是三个二项式相乘，可以使用平方差公式吗？我们发现，这三个二项式中，前两个二项式相乘符合平方差公式的结构，可以利用平方差公式进行计算，即((x + 3)(x - 3)=x^2 - 3^2 = x^2 - 9)。这时再乘以(x^2 + 9)，又符合平方差公式的结构特征，结果是((x^2)^2 - 9^2 = x^4 - 81)。
下面请大家尝试解决一些练习题。
第一题，用合适的方法进行计算：((2a + 5b)(2a - 5b))。能够看到，这是(2a)与(5b)的和乘以(2a)与(5b)的差，那它的结果就等于(2a)与(5b)的平方差，答案是(4a^2 - 25b^2)。
第二题：(( - \frac{1}{2}x - 3)( - \frac{1}{2}x + 3))。与第一题相比，符号较复杂，但也能看出它是(-\frac{1}{2}x)与(3)的差乘以(-\frac{1}{2}x)与(3)的和，可以使用平方差公式进行计算，结果是(( - \frac{1}{2}x)^2 - 3^2 = \frac{1}{4}x^2 - 9)。
再看第三、四两题。
第三题：((xy + 1)( - xy + 1))。整体上这两个二项式都是和的形式。
第四题：((y - 2x)( - 2x - y))。整体上这两个二项式都是差的形式。而平方差公式要求是两个数的和乘以两个数的差，所以这两道题还可以利用平方差公式进行求解吗？
我们再次观察平方差公式的结构特点：公式左边是两个二项式的乘积，其中有一项符号相同，比如(a)和(a)，而另一项完全相反，比如(b)和(-b)，它的结果用相同项的平方减去相反项的平方。