师：同学们好，今天这节课我们继续学习幂的运算。在学习新课之前，先来回顾一下之前学过的相关知识。大家还记得上节课学习的同底数幂除法的运算性质吗？请大声说出来。
生：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方，等于(a)的(m - n)次方。其中(a\neq0) ，(m)、(n)都为正整数。
师：那指数(m)、(n)满足怎样的关系呢？大家回忆一下。
生：(m\gt n)。
师：除此之外，(m)、(n)还有什么关系呢？
生：(m\leq n)。
师：那请同学们思考这样一个问题，当(m\leq n)，且(m)、(n)都是正整数，(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方，其中(a\neq0)，又该如何计算呢？带着这个问题，走进本节课幂的运算——第五课时同底数幂的除法。首先，通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：一、能通过具体实例的观察和思考，理解(0)次幂、负整数次幂的意义，能够用(0)次幂和负整次数幂的意义进行简单的计算；二、能够用科学计数法表示绝对值小于(1)的数；三、体会由特殊到一般再到特殊以及类比探究问题的数学思想方法。
带着本节课的学习目标，开启学习之旅吧。请同学们拿出笔和练习本，计算下面几个式子，并思考以下问题。
（老师引导学生分析式子）请同学们认真观察这两个式子，被除数和除数相同，根据不等于(0)的一个数除以其本身商为(1)，可以直接得出这两个运算结果都为(1)。那我们再来观察这两个算式还有什么特点呢？
生：它们都是指数相等的同底数幂相除。
师：那怎么用字母表示这样的算式呢？同学们可以试着写一写。
生：把底数用(a)表示，指数用(n)表示。
师：那(a)与(n)是什么样的数呢？
生：(a)是不为(0)的数，且(n)是正整数。
师：这样的算式一般表示为(a)的(n)次方除以(a)的(n)次方。类比刚才的方法，它的结果也等于(1)。再来思考这样一个问题，当被除数的指数等于除数的指数，即(m = n)时，仿照同底数幂除法性质计算，你又得到了什么？
（学生计算后）
师：一起来看。底数不变，指数相减，(3)的(3)次方除以(3)的(3)次方，等于(3)的(3 - 3)次方，等于(3)的(0)次方；(10)的(8)次方除以(10)的(8)次方，等于(10)的(8 - 8)次方，等于(10)的(0)次方；(a)的(n)次方除以(a)的(n)次方，等于(a)的(n - n)次方，最后等于(a)的(0)次方。我们可以把(a)的(0)次幂看成是(a)的(n)次方除以(a)的(n)次方的商。所以我们约定，(3)的(0)次方等于(1)，(10)的(0)次方等于(1)，同样(a)的(0)次方也等于(1)，其中(a\neq0)，即任何一个不等于(0)的数的(0)次幂都等于(1)。亲爱的同学们，当(m = n)时，有了上面这样一个约定，再来思考下面几个问题，我们同样来观察这两个算式有什么特点呢？
生：它们都是同底数幂除法，且被除数的指数小于除数的指数。
师：那用字母又如何表示呢？类比前面的学习方法可以表示为(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方，其中(a\neq0) ，(m)、(n)为正整数，且(m\lt n)。那就请同学们来算一算这几个式子的值吧。
（学生计算后）
师：跟着老师一起来看一看计算过程。第一小题，(3)的平方除以(3)的(5)次方，写成分数的形式等于(\frac{3^{2}}{3^{5}})，再根据同底数幂乘法的逆运用，(3^{5}=3^{2}×3^{3})，约去(3^{2})，结果等于(\frac{1}{3^{3}})。第二小题，(10)的(4)次方除以(10)的(8)次方，通过计算，它的结果就等于(\frac{1}{10^{4}})。最后来看第(3)小题，(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方，这里底数和指数都为字母，又该怎样计算呢？
生：它等于(\frac{a^{m}}{a^{n}})，又因为(m\lt n)，所以(n - m)为正整数。分母(a^{n})就可以写成(a^{m}×a^{n - m})，约去(a^{m})就等于(\frac{1}{a^{n - m}})。
师：为了简便，我们可以把(n - m)记为(p)，即(p)也为正整数，所以结果就可以写成(\frac{1}{a^{p}})。同样来思考这样一个问题，当被除式的指数小于除式的指数，即(m\lt n)时，仿照同底数幂除法性质计算，你又得到了什么？
（学生思考后）
师：好的同学们，有结果了吗？跟着老师一起来看一看。(3)的平方除以(3)的(5)次方，底数相同，指数相减等于(3^{2 - 5})，等于(3^{-3})。第(2)小题，(10)的(4)次方除以(10)的(8)次方，等于(10^{4 - 8})，也就等于(10^{-4})。再来看第三小题，(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方，等于(a^{m - n})，令(p = n - m)，所以(m - n = -p)，那结果就等于(a^{-p})。在这里我们可以把(a)的负整数次幂看作(a)的(m)次方除以(a)的(n)次方的商，其中(m)小于(n)。那对比以上两种运算结果，你又会有什么样的约定呢？
生：我们约定(3^{-3}=\frac{1}{3^{3}})，(10^{-4}=\frac{1}{10^{4}})。
师：那一般的，当底数是不等于(0)的(a)，指数为负(p)时，(a^{-p}=\frac{1}{a^{p}})，即任何一个不等于(0)的数的负(p)次幂（(p)为正整数），等于这个数的(p)次幂的倒数。
同学们有没有发现，有了上面我们得到的两个约定，由此可以得到幂的指数为正整数、(0)和负整数，即幂的指数可以为任意整数，同底数幂的除法运算性质，对于指数(m)、(n)为整数时也同样成立。我们对于同底数幂除法运算性质中的(m)、(n)有了新的认识，并且有了两个约定，那就通过几个例子来加深对这些知识的理解。请看例一：
（学生计算后）
师：同学们，你们有结果了吗？来看第一小题，(10÷10^{7})，底数不变，指数相减等于(10^{1 - 7})，等于(10^{-6})。根据负整数次幂的意义，最后就等于(\frac{1}{10^{6}})。在这里提醒同学们注意，运算结果中负整数次幂一般要化为正整次数幂。继续来看第二小题，((\frac{1}{7})^{-2}÷(\frac{1}{7})^{-2})，等于((\frac{1}{7})^{-(-2)})，等于((\frac{1}{7})^{0})，也就等于(1)。在这里请同学们也注意，同样可以根据不等于(0)的一个数除以其本身商为(1)得到结果。第(3)小题，(( - 5)^{3}÷( - 5)^{6})，底数都为(-5)，且(3\lt6)，等于(( - 5)^{3 - 6})，等于(( - 5)^{-3})，也就等于(\frac{1}{(-5)^{3}})，最后的结果等于(-\frac{1}{125})。最后一小题，当底数为字母(x)时，仍然可以计算。利用同底数幂除法运算性质就等于(x^{1 - 3})，等于(x^{-2})，最后可以写成(\frac{1}{x^{2}})。大家可以看到同底数幂的除法运算性质中指数为任意整数。我们再来看一看这两个负整数字幂，如果用小数又该怎么表示呢？请同学们在练习本上认真算一算。