师：同学们好，请准备好笔和草稿本，开始今天的新课。小学我们认识了小数，小数分整数部分和小数部分。如果按小数部分分类，该怎么分呢？一起回忆下。小数按小数部分分类，可分为有限小数和无限小数。哪些数是有限小数呢？举两个例子，像0.5、0.21，这样的小数就是有限小数，它们能化成分数，0.5可化成1/2，0.21可化成21/100。那无限小数又该怎么分类呢？无限小数分为无限循环小数与无限不循环小数。哪些数属于无限循环小数呢？比如0.33循环，它就是无限循环小数，也能用分数表示，可化成1/3。大家能举个无限不循环小数的例子吗？试一试，肯定能想出来，像0.181881888……（两个1之间依次增加一个8）这样的数就是无限不循环小数。能再举个特别点的吗？大家肯定会想到圆周率π，是的，它也是无限不循环小数。实际上，无限不循环小数还有很多，今天老师就带大家认识它们。
在认识之前，咱们先动手拼一拼。能用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗？思考一下，也可借助手边工具试试。想出来了吗？我们可以这样做，把两个小正方形沿对角线剪开，就得到四块一样的等腰直角三角形。接着把这四块等腰直角三角形沿直角顶点拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。这个正方形面积为2，它的边长是多少呢？我们借助之前学的方程知识来解决。设这个正方形边长为x，根据面积公式可得方程x2 = 2。借助平方根与算数平方根的知识，可解得x的值，这里x应该有两个值，分别为正负根号2。因为这是实际问题，x代表边长，所以舍去负值，取算数平方根x = 根号2，这样就知道大正方形边长是根号2。大家看这个数，它是有理数吗？它和1谁大呢？接下来探究这个问题。
通过前面操作发现，根号2是边长为1的正方形的对角线长，它一定大于1小于2。那根号2与1.5谁大呢？算一算，利用平方知识，1.52 = 2.25，大于2，所以根号2大于1小于1.5。那根号2与1.4谁大呢？再算一算，1.42 = 1.96，小于2，所以根号2在1.4与1.5之间。继续算，1.412 = 1.9881，小于2，1.422 = 2.0164，大于2，所以根号2大于1.41小于1.42。
接下来大家用计算器算一算，根号2与1.41谁大？根号2与1.42谁大？按这样的方法用计算器可无限计算下去，算出来的值会无限逼近根号2的真实值。最终会发现，根号2也是无限不循环小数。根号2是不是有理数呢？答案是否定的，像刚才认识的圆周率π以及根号2，都是无限不循环小数，所以它们都是无理数。还能举出其他无理数的例子吗？可以试试。
好，认识了无理数，接下来老师把有理数和无理数混在一起，大家能从中分辨出哪些是有理数，哪些是无理数吗？来看下面例题。老师出示10个数，要求从中分辨出无理数。逐一来分析：
第一个数1/3，是分数，显然是有理数；
20，是整数，自然是有理数；
3，是负整数，也是有理数；
第四个数2又3/7，是带分数，属于分数，是有理数；
第五个数根号下1/2，第七个数根号16。根号16是16的算术平方根，可化成4，而1/2的算术平方根在有理数范围内找不到，所以第五个数是无理数；
第六个数0.99循环，是无限循环小数，是有理数，可化成分数形式；
第八个数3次根号7的相反数，7的立方根在有理数范围内找不到，所以第八个数是无理数；
第九个数π，肯定是无理数；
第十个数，是典型的无限不循环小数，所以也是无理数。
这10个数中，无理数有5、8、9、10这4个，做对了吗？这里老师要特别提醒，不是所有带根号的数都是无理数，比如根号16，还有根号4、根号9、根号25、根号81等。这些数虽带根号，但能写成整数形式，不属于无理数范围。现阶段见到的无理数主要有以下几种表现形式：
第一种，像负根号2、三次根号7这样带根号，且根号里的被开方数开不尽的数，属于无理数；
第二种，写成无限不循环小数形式的数，是无理数；
第三种，特殊字母，比如圆周率π，也是无理数。当然，随着后续学习，还会认识其他形式的无理数。接下来通过一道例题巩固无理数的概念和形式。
把下列各数分类填入图中，分成有理数和无理数。逐一来分析：
第一个数0，整数属于有理数；
3.14，有限小数，是有理数；
二分之根号2，属于无理数集合；
1、 - 2，负整数，属于有理数范围；
1/2，负分数，属于有理数范围；
π，属于无理数；
三次根号 - 8的相反数， - 2的三次方等于 - 8，所以8的三次方的相反数是 - 2，它是有理数；
根号3，被开方数开不尽，是无理数；
1/3，分数，属于有理数；
最后一个根号64的相反数，8的平方等于64，所以根号64的相反数是 - 8，它也是有理数。这样就分清楚了，无理数有3个，其余是有理数，分对了吗？
无理数从发现到被所有人承认属于数的王国一员，经历了曲折艰辛的过程。七年级上册认识了负有理数，将数系扩充到有理数范围。今天认识了无理数，接下来将数系扩充到实数范围，即实数包括有理数与无理数，也可说有理数和无理数通称为实数。有理数可具体分为正有理数、0和负有理数，无理数分为正无理数与负无理数，这是实数的一种分类形式。前面知道有理数有两种分类形式，那能类比有理数的分类，对实数进行第二种分类吗？大家试试。
来看实数的第二种分类方式：实数可分为正实数、0和负实数。正实数又分为正有理数和正无理数，正有理数可继续分为正整数与正分数；负实数包括负有理数与负无理数，负有理数又分为负整数与负分数。老师提醒大家，对实数分类时要注意两点：第一，分类标准要统一；第二，要做到不重不漏，比如0不能丢掉。概念学了不少，接下来通过一组练习加深理解。
来看第一题：下列数中无理数有几个？仔细观察，分辨哪些是无理数，想想无理数的几种主要表现形式。正确答案是有三个，哪三个呢？零，整数，是有理数； - 1/2，负分数，是有理数；负根号5，5开不尽，属于负无理数范围，是无理数；二分之π，典型的无理数；三次根号下27，3的立方等于27，所以27的立方根是3，不是无理数；3.14，有限小数，是有理数；117/311，虽分数形式复杂，但还是分数，是有理数；0.2323循环，无限循环小数，是有理数；最后一个数，典型的无限不循环小数形式，是无理数。所以无理数是根号5的相反数、二分之π以及最后一个无限不循环小数，写对了吗？