师：同学们好，今天我们继续学习 10.1 节相交线。在前几节课，我们认识了邻补角、对顶角，学习了它们的性质，还知道了垂线的基本事实，也就是垂线段定理。这节课是第四课时，主要对前面所学知识进行归纳总结，并运用这些知识解决一些几何问题。首先，我们来梳理一下学过的内容。
知识点一：对顶角。平面内两条直线 AB 与 CD 相交于 O 点，一般情况下，它们所形成的 4 个角中会产生 4 对邻补角、2 对对顶角。如图所示，∠1 与∠3、∠3 与∠2、∠2 与∠4、∠4 与∠1，它们有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的角我们称它们互为邻补角。∠1 与∠2，∠3 与∠4，它们有公共顶点，两边都互为反向延长线，这样的角我们称它们互为对顶角。那么邻补角与对顶角具有什么性质呢？若∠1 与∠3 互为邻补角，则∠1 + ∠3 = 180°；∠1 与∠2 互为对顶角，则∠1 = ∠2。也就是说，邻补角互补，对顶角相等。
邻补角与对顶角反映的都是两个角之间的关系。在解决问题时，怎样辨别两个角是邻补角还是对顶角呢？一方面，我们可以借助图形，从两角的位置关系，依据概念来辨认；另一方面，我们可以利用邻补角互补、对顶角相等的性质，从数量关系来分析。同学们，你们会辨认两个角是对顶角还是邻补角了吗？
知识点二：垂直。平面内的两条直线 AB 与 CD 相交，当形成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直，这是两条直线相交的特殊情形。根据前面所讲的邻补角互补、对顶角相等，我们知道当有一个直角时，其他三个角也是直角。即如图，若直线 AB⊥CD，则∠AOC = ∠AOD = ∠BOC = ∠BOD = 90°。我们把由直线的垂直关系得出直线的夹角等于 90°，称为垂直的性质。反过来，我们常常利用直线的夹角等于 90°来说明这两条直线是垂直的关系，即直线 AB 与 CD 相交，若∠AOC = 90°，则直线 AB⊥CD。
接着我们又学习了垂线的基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。如图，直线 l 上或外一点 P，这里注意，过一点有两种情况，点在线上或点在线外。那么过 P 点作直线与 l 垂直只能做出一条。这里“有”说明了这条直线存在，“只有”则说明了这条直线的唯一性。当 P 点在直线 l 外，直线 PO⊥l，垂足为 O，我们把线段 PO 称为直线 l 的垂线段。同学们，这里要注意，直线的垂线是直线，不可度量；直线的垂线段是线段，可进行度量。
我们还学习了垂线的性质：在连接直线外一点与线上各点的线段中，垂线段最短。如图，过直线 l 外一点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 O。我们把线段 PO 的长度称为点 P 到直线 l 的距离。这里直线 l 上还存在不同于 O 点的其他点，如 A 点和 B 点，连接 PA、PB。我们说在 PA、PB、PO 中，PO 最短，也就是垂线段最短。同样要注意，这里点到直线的距离不是垂线段，而是垂线段的长度，也就是说点到直线的距离是个具体的数值。
梳理完知识点，接下来我们应用知识解决问题。
第一题，如图，若∠1 + ∠3 = 180°，图中与∠1 相等的角有哪些？要求与∠1 相等的角，结合图形，我们可以利用前面所学的对顶角相等，直接找出∠1 的对顶角。∠BOC 与∠1 互为对顶角，所以∠BOC = ∠1。那么还有其他的角吗？题目还给了一个条件，∠1 + ∠3 = 180°，由补角的定义，我们知道∠1 与∠3 互补。再根据七年级上册学过的同一个角的补角相等，要找出与∠1 相等的角，我们可以找出∠3 的补角。结合图形，我们发现∠3 与∠AEO、∠3 与∠DEF 互为邻补角，由邻补角的性质，我们可以得出∠3 + ∠AEO = 180°，∠3 + ∠DEF = 180°。所以∠1 = ∠AEO = ∠DEF。这样，这一题与∠1 相等的角有∠BOC、∠AEO、∠DEF。这一题我们用了两种方法找与∠1 相等的角，一种是直接找法，一种是间接找法。
第二题，如图，AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥CD 于 O 点，∠BOE = 54°，则∠AOC 等于多少度？首先，我们在图形中标记出题目所给已知角的度数，∠BOE = 54°。再由 OE⊥CD，结合垂直的性质，我们可以得出∠COE = ∠DOE = 90°。
那么要求的∠AOC 与已知角之间有什么关系呢？观察图形，我们发现∠AOC、∠COE 与∠BOE 构成一个平角。所以∠AOC = 180° - ∠COE - ∠BOE，最后得出 36°。那么这题还有其他解法吗？这里我们还可以利用∠DOE = 90°，发现∠BOD 与∠BOE 互余，所以∠BOD = 90° - 54° = 36°。再由对顶角相等，得∠AOC = ∠BOD = 36°。两种不同的方法都可以得出∠AOC = 36°。
在数学中，往往一个几何题可以有多种解法，我们倡导一题多解来训练思维的灵活性，但更多时候需要选择最优的方法来解题。