师：同学们好，今天我们学习初中数学北师大版八年级上册第五章第一节——认识二元一次方程组。方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，在日常生活、工业生产、城市规划乃至国防领域都有广泛应用。笛卡尔曾说：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程。因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。”这话虽夸大了方程的作用，但也体现出方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
在七年级，我们已学习一元一次方程，积累了利用方程解决实际问题的经验。本章我们将继续学习二元一次方程组，包括它的概念、解法和应用。今天，我们先从认识二元一次方程组开始。首先，回忆几个问题。什么叫方程？
生：含有未知数的等式叫做方程。
师：什么叫一元一次方程？
生：在一个方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是一，这样的方程叫做一元一次方程，其中 x 常用来代表未知数。
师：什么叫方程的解？
生：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
师：今天我们类比一元一次方程的学习方法，从实际情境入手，找出等量关系，设出未知数，列出方程。先看第一个情景，老牛和小马的对话。老牛说：“累死我了。”小马说：“你还累，这么大的个儿才比我多驮了两个。”从这个对话能得到什么信息？隐含着怎样的等量关系呢？
生：老牛驮的包裹数减去小马驮的包裹数等于 2。
师：对。再看第二张图片，老牛说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹数就是你的两倍。”从这个对话又能得到怎样的信息？有什么样的等量关系？
生：老牛的包裹数加 1 等于两倍的小马的包裹数减 1。
师：很好。那它们各驮了多少包裹呢？根据刚才找的两个等量关系，一是老牛驮的包裹数减小马驮的包裹数等于 2；二是老牛驮的包裹数加 1 等于两倍的小马的包裹数减 1。我们设老牛驮了 x 个包裹，小马驮了 y 个包裹，可列出方程 x - y = 2，x + 1 = 2×(y - 1)。
再看第二个情景，两位同学的对话。第一位同学说：“昨天我们 8 个人去红杉公园玩，买门票花了 34 元。”第二个同学说：“每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元。”想一想，他们到底去了几个成人、几个儿童呢？根据对话信息能得到怎样的等量关系？
生：成人人数加儿童人数等于 8，成人票款加儿童票款等于 34。
师：没错。如果设成人人数为 x 人，儿童人数为 y 人，我们就可以得到两个方程，x + y = 8，5x + 3y = 34。
我们看这两个情景，得到了 4 个方程。同学们，请仔细观察这 4 个方程有什么共同特点，想一想，回答下面两个问题：上面所列方程各含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？
生：上面所列方程各含有两个未知数，含有未知数的项的次数是一。
师：类比一元一次方程的定义，我们给这样的方程命名为二元一次方程。你能用自己的话说一说什么是二元一次方程吗？
生：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一的方程，叫做二元一次方程，要注意方程两边都是整式，也就是说二元一次方程都是整式方程。
师：一元一次方程与二元一次方程有哪些相同点和不同点呢？
生：一元一次方程只含有一个未知数，二元一次方程含有两个未知数。它们的相同点是含有未知数项的次数都是一，而且都是整式方程。
师：练一练，有下列方程，其中二元一次方程有几个。第一个方程 x×y = 1 。
生：显然 x×y 这一项是二次项，所以这个方程是二元二次方程。
师：第二个方程 2X = 3Y 。
生：根据二元一次方程的定义，共含有两个未知数，且未知数的次数都是一，所以它是二元一次方程。
师：第三个方程 1/4 x = 3y - 1 。
生：符合二元一次方程的定义。
师：第四个 x2 + y = 3 。
生：显然 x2 是二次项，它是二元二次方程。
师：第五个 x - 1/y = 2 。
生：其中 1/y 的 y 在分母上，所以这个方程不是整式方程，它也不是二元一次方程。
师：第六个 IX2 + 2X + 3Y = 0 ，i = 0 。
生：当 i = 0 时，IX2 这一项等于 0，原方程化为 2X + 3Y = 0 ，符合二元一次方程的定义，所以二元一次方程有三个。
师：同学们，在刚才的第二个情境中，我们设成人人数 x 人，儿童人数 y 人，列出了两个方程，x + y = 8，5x + 3y = 34 。那么思考一下，这两个方程中 x 代表的对象相同吗？为什么？
生：x 代表的都是成人人数，y 代表的是儿童人数，所以 x 代表的对象相同，y 代表的对象也相同。
师：因此，我们可以把这两个方程联立在一起，用大括号括起来组成一个方程组。这就是我们今天要学习的二元一次方程组。同学们，你能用自己的话来说一说什么是二元一次方程组吗？
生：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，要注意方程组各方程中同一字母必须代表同一个量。
师：我们来练习一下，请问下列方程组是二元一次方程组吗？第一个 3X - 2Y = 9 ，Y + 5X = 0 。
生：共含有两个未知数 x、y，且两个都是一次方程，所以符合二元一次方程组的定义。
师：第二组 x - 3Y + 9Z = 8 ，Y + 3Z = 5 。
生：这个方程组共含有三个未知数 x、y、z，所以不是二元一次方程组。
师：第三组，x = 2 ，y = 1 。
生：这个方程组共含有两个未知数 x、y，且两个都是一次方程，符合二元一次方程组的定义。
师：第四组，3/x + 5/y = 4 ，x - y = 0 。
生：这个方程组中第一个方程未知数在分母上，所以它不是二元一次方程组。
师：第五个 x = 1 ，x + y = 5 。
生：显然符合二元一次方程组的定义，它是二元一次方程组。
师：同学们，刚才我们列出了 x + y = 8 这个方程，来看一下，x = 6 ，y = 2 适合方程 x + y = 8 吗？
生：把 x = 6 ，y = 2 代入方程 x + y = 8 ，发现方程左右两边的值相等，所以 x = 6 ，y = 2 适合方程 x + y = 8 。
师：同样，x = 5 ，y = 3 呢？
生：把这一组值代入 x + y = 8 ，方程左右两边的值相等，所以 x = 5 ，y = 3 也适合 x + y = 8 。