师：同学们好，今天我们要讲的内容是初中数学北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第三课时。本节课的学习目标有两个：一是掌握二次根式的混合运算的运算法则，这也是本节课的重点；二是会运用二次根式的混合运算法则进行有关运算，这是本节课的难点。
我们先来看一个引入问题：如果梯形的上下底长分别为二倍根号2厘米、四倍根号3厘米，高为根号6厘米，那么它的面积是多少？
梯形面积为：$\frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 4\sqrt{3})\times\sqrt{6}$，进一步化简：
[
\begin{align*}
&(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})\times\sqrt{6}\
=&\sqrt{2}\times\sqrt{6} + 2\sqrt{3}\times\sqrt{6}\
=&\sqrt{2\times6} + 2\sqrt{3\times6}\
=&\sqrt{2\times2\times3} + 2\sqrt{3\times3\times2}\
=&2\sqrt{3} + 2\times3\sqrt{2}\
=&2\sqrt{3} + 6\sqrt{2}（平方厘米）
\end{align*}
]
接下来问大家两个问题：
第一，单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么呢？单项式与多项式乘法法则是$m(a + b + c)=ma + mb + mc$；多项式与多项式乘法法则是$(m + n)(a + b)=ma + mb + na + nb$。
第二，多项式与单项式的除法法则是什么呢？$(ma + mb + mc)\div m = a + b + c$。
前面两个问题的思路是单项式乘多项式，通过分配率转化成单项式乘单项式。现在思考，如果把字母$a$、$b$、$c$、$m$都用二次根式代替，然后对比归纳，你们发现了什么呢？
下面讲授新课知识点一：二次根式的混合运算。根式的加减乘除混合运算与整式运算一样，运算率、运算顺序、乘法则依然适用。
来看两个计算：
计算$(\sqrt{8} + \sqrt{3})\times\sqrt{6}$。
$(\sqrt{8} + \sqrt{3})\times\sqrt{6} = \sqrt{8}\times\sqrt{6} + \sqrt{3}\times\sqrt{6} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。
计算$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6})\div2\sqrt{2}$。
$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6})\div2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\div2\sqrt{2} - 3\sqrt{6}\div2\sqrt{2} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{3}$。
再看$(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5)$，类比多项式乘多项式，$(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5) = (\sqrt{2})^2 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 15 = -13 - 2\sqrt{2}$。
归纳总结：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序，先乘除，再加减。有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应运算法则进行。
看几个变式题计算：
原式$=\sqrt{6} - 3 - 3\sqrt{3} + 3 - \sqrt{6}$，化简结果为$-3\sqrt{3}$。
原式$=1 + 2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3}$，最终结果为$\sqrt{3} - 2$。
归纳小结：有绝对值符号的同括号一样，先去绝对值符号，注意去掉绝对值后得到的数应该为正数。
下面计算几个小题：
$\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2\times3}{2\times2}} - \sqrt{\frac{3\times2}{3\times3}} = \frac{1}{2}\sqrt{6} - \frac{1}{3}\sqrt{6} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\sqrt{6} = \frac{1}{6}\sqrt{6}$。
$\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{3^2\times2} - \sqrt{2^2\times2} + \sqrt{\frac{2}{16}} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \frac{1}{4}\sqrt{2} = \frac{5}{4}\sqrt{2}$。
解法一：$(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}})\div\sqrt{3} = \sqrt{24}\div\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{6}}\div\sqrt{3} = \sqrt{24\div3} - \sqrt{\frac{1}{6}\div3} = \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}} = \sqrt{4\times2} - \sqrt{\frac{2}{6\times6}} = 2\sqrt{2} - \frac{1}{6}\sqrt{2} = \frac{11}{6}\sqrt{2}$。
解法二：原式$=(\sqrt{4\times6} - \sqrt{\frac{6}{6\times6}})\times\sqrt{\frac{1}{3}} = (2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{6})\times\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{11}{6}\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{11}{6\times3}\sqrt{6\times3} = \frac{11}{6}\sqrt{2}$。
原式$=\sqrt{\frac{2\times25}{2\times2}} + \sqrt{99} - \sqrt{9\times2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} + \sqrt{99} - 3\sqrt{2} = -\frac{1}{2}\sqrt{2} + \sqrt{99}$。思考：还可以继续化简吗？为什么？如果算式当中有个别二次根式化简，最简二次根式仍不能与其他最简二次根式合并同类项，结果中可以保留不必化为最简式。
知识点二：二次根式的化简求值问题。化简$(\sqrt{\frac{1}{a}} - \sqrt{b})\times\sqrt{ab}$，其中$a = 3$，$b = 2$。有两种解法：
解法一：把$a = 3$，$b = 2$代入代数式，原式$=(\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{2})\times\sqrt{3\times2} = \sqrt{\frac{1}{3}\times3\times2} - \sqrt{2\times3\times2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{3}$。这种方法是先代入后化简。
解法二：原式$=\sqrt{\frac{1}{a}}\times\sqrt{a\times b} - \sqrt{b}\times\sqrt{a\times b} = \sqrt{b} - b\sqrt{a}$，把$a = 3$，$b = 2$代入，原式$=\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$。这种方法是先化简后代入。比较这两种方法，大家觉得哪一种更简便呢？方法总结：解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得。