师：同学们好，今天我们一起学习北师大版八年级上册第二章第六节实数。在正式学习新课之前，我们先来复习回顾一下。首先，什么是有理数？怎样分类呢？我们知道整数和分数统称为有理数，所以有理数可以分为整数和分数。按正负性来分，还可以分为正有理数、0和负有理数。除此之外，我们还学习了有理数的哪些相关知识呢？比如在数轴上的表示，我们知道所有的有理数都可以在数轴上表示出来。还有相关概念，像相反数、倒数、绝对值等。另外，有理数的运算法则大家也不能忘。
那什么是无理数呢？无限不循环小数称为无理数。现在，请大家根据所学知识，把下列这些数分别填入相应的集合内。我们一起来逐一分析：三次根号下二属于开方开不尽的数，是无理数；1/4是分数，所以是有理数，同样的， -5/2也是有理数；π是无限不循环小数，属于无理数；根号7是开方开不尽的数，属于无理数；负的3次根号下8等于 -2，是整数，属于有理数；负根号3是开方开不尽的数，属于无理数；根号下20/3也是无理数；负根号5，同样是无理数；根号4/9等于2/3，是分数，属于有理数；0是整数，因此也属于有理数；根号2属于无理数；0.373773773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加一），是无限不循环小数，因此属于无理数。
大家分对了吗？认识了有理数和无理数后，接下来我们就可以把数扩充到实数，有理数和无理数统称为实数，所以实数可分为有理数和无理数。前面我们知道无理数和有理数一样，也有正负之分，比如根号3是正的，负π是负的。那大家能把实数再进行分类吗？好，请把上题中的数分别填入下面相应的集合内。
三次根号2属于正数；1/4是正数；根号7是正数；π也是正数； -5/2小于0，是负数；根号2是正数；根号20/3也是正数；负根号5是负数； -3次根号下8等于 -2，所以也是负数；根号下4/9等于2/3，是正数。那0是正数还是负数呢？注意，0既不是正数也不是负数。0.373773……属于正数。因此，实数还可以按正负来分，即实数可以分为正实数、0、负实数。其中正实数又包括正有理数、正无理数，负实数又包括负有理数和负无理数。大家理解了吗？接下来我们通过一道例题加深对实数的理解。
例一，将下列各数分别填入相应的集合内。我们一起来看：三次根号9是开方开不尽的数，因此它属于无理数，同时它大于0，也属于正实数；1/4是分数，因此它属于有理数，同时也是正实数；根号7是无理数，也是正实数；π是无理数，也是正实数；负根号16等于 -4，是整数，所以它属于有理数，同时也是负实数；负根号5是无理数，也是负实数； -3次根号下8等于 -2，是整数，所以它属于有理数，同时也是负实数；根号下4/9等于2/3，是分数，所以它属于有理数，同时也是正实数；0是整数，因此它是有理数，但它既不是正实数，也不是负实数；根号25 = 5，是整数，属于有理数，同时也是正实数；0.3232232223……它是无限不循环小数，因此属于无理数，同时它也是正实数。在这里分类时，大家要注意只抄写不计算，做到不重复、不遗漏。
探究二：实数相关概念及运算。问题一，前面我们学习了有理数的哪些相关概念？我们学习了有理数的相反数、倒数、绝对值等。那在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。例如，根号2与负根号2互为相反数，3次根号5与3次根号下1/5互为倒数，根号3的绝对值等于根号3，0的绝对值等于0，负π的绝对值等于π。
问题二，在有理数范围内还能进行哪些运算呢？我们前面学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算。实数和有理数一样，也可以进行加减乘除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。例如，根号2乘以根号5等于根号5乘以根号2，这运用了乘法的交换律；根号3乘以根号5乘以根号1/5等于根号3乘以（根号5乘以根号1/5），后面两数相乘等于1，最终结果等于根号3，这运用了乘法的结合律；4倍的3次根号下2加上7倍的3次根号下2 =（4 + 7）倍的3次根号下2 = 11倍的3次根号下2，这运用了乘法对加法的分配律。同学们，你们理解了吗？请试着完成下面的例题。
例二，分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值。
三次根号下 -64，因为三次根号下 -64 等于 -4，所以它的相反数是4，倒数是 -1/4，绝对值是4。
根号11，根号11的相反数是负根号11，倒数是1/根号11，绝对值是根号11。
3 - π，3 - π的相反数是 -（3 - π），去括号得π - 3，倒数是1/（3 - π），因为3 - π是负数，所以它的绝对值就是它的相反数，即π - 3。
根据上面的例题，我们能归纳总结出：若a是一个实数，则它的相反数是 -a，绝对值用数学语言可以写成：当a > 0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a < 0时，|a| = -a。如果a ≠ 0，那么它的倒数是1/a；若a = 0，那么它没有倒数。
我们知道所有的有理数都可以在数轴上表示出来，那无理数能不能在数轴上找到对应的点呢？探究三：实数与数轴上的点。请同学们来试一试，你能在数轴上找到表示无理数根号2的点吗？
大家还记得我们是怎么找到根号2的吗？它表示一个边长为1的正方形的对角线。那怎样把这一条对角线移到数轴上呢？首先画一个数轴，然后以原点为顶点，以一个单位长度为边长做一个正方形，连接一条对角线，这条对角线的长即为根号2。以原点为圆心，以根号2为半径画弧，与数轴有一个交点，这个交点的位置就是我们要找的根号2。
按照这样的方法，你能找到负根号2吗？只要将刚才的圆弧向另一个方向画弧，这时与数轴又有一个交点，这个交点位置就是负根号2。大家找到了吗？那无理数正负根号2可以用数轴上的点表示，大家还想找哪些无理数呢？老师想在数轴上寻找π，大家能不能找到？借助找根号2的思路想一想，如何找一条线段长为π呢？在这里老师给大家一个提示，直径为一个单位长度的圆周长是多少？是π。那我们如何把这样的一条线段放到数轴上呢？如图，直径为一个单位长度的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点A，那点A对应的数就是π。因此，无理数π也可以用数轴上的点来表示。
通过这两个问题，我们发现每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的，并且在数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
通过下面这个例题，看看大家是否理解了如何在数轴上找一个无理数。例3、在数轴上找出根号5对应的点。根据刚才找根号2的思路，以原点为顶点，以一个单位长度为宽，两个单位长度为长，做一个长方形，连接一条对角线，这条对角线的长就为根号5。以原点为圆心，以根号5为半径画弧，与数轴的交点位置即为根号5。大家做对了吗？
那这节课的新课就到这了，看看大家对这节课的掌握情况如何，接下来和老师一起做几道题。
判断下列说法是否正确。
带根号的数都是无理数。例如根号4是带根号的，但是它等于2，属于整数，是有理数，所以这道题是错的。
数轴上的任何一点都可以表示实数。通过刚才的学习，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的，所以这句话是对的。
绝对值最小的实数是0。因为绝对值表示的意义是到原点的距离，0到原点的距离是0，所以这句话是对的。
无理数是无限小数，无限小数就是无理数。我们知道无理数是无限不循环小数，所以第一句无理数是无限小数是对的，但是第二句无限小数不一定是无理数，比如说无限循环小数，它就是有理数，所以这句话是错误的。
下列各组数中，互为相反数的是。我们一起来看一下这四个选项。
A选项中，根号下（ -2）的平方等于2， -2与2是互为相反数的，符合题意。
B选项，三次根号下 -8 等于 -2， -2和它是相等关系。
C选项， -2与 -1/2是互为倒数的。
D选项， -2的绝对值等于2，所以这两个数也是相等的。因此这道题的答案应该选择A选项。
下列各数中，负实数有几个？来看第一个数，负的三次根号下8的绝对值，我们可以通过计算得出它等于2，属于正实数；第二个很明显也是正实数；负π是负实数； -1/7是负实数；负a，负a表示的是a的相反数。若a > 0，则负a是负实数；若a = 0，则负a也等于0，即负a既不是正实数，也不是负实数；若a < 0，则负a是正实数，因此负a不一定是负实数。所以这道题应该选择B选项。
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并比较它们的大小。根据各点所处的位置，很容易能够看出来，A点表示的是 -1.5，B表示根号2，C表示根号5，D表示3，E表示π。那在数轴上，右边的数总比左边的数大，因此 -1.5 < 根号2 < 根号5 < 3 < π。
实数a、b的位置如图所示。化简|a + b| - |a - b|。一起来分析一下，由数轴可知，a < 0 < b，且|a| > |b|，所以a + b < 0，a - b < 0，从而|a + b|等于a + b的相反数，|a - b|等于a - b的相反数。请同学们按下暂停键，试着写出这道题的过程。
大家一起来看一下这道题的解题过程。解：由数轴可知，a + b < 0，a - b < 0，所以原式 = -（a + b） - [ -（a - b）]，去括号得 -a - b + （a - b） = -a - b + a - b，化简等于 -2b。
相信认真听课的同学们，对于本节课一定有所收获。通过今天的学习，说说你们的收获和体会吧。
本节课我们主要学习了实数的相关知识。有理数和无理数统称实数。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，实数与数轴上的点一一对应。涉及到的思想方法有类比、归纳、数形结合。今天的作业，请同学们选择其中任意一项完成：一、完成课本习题2.8；二、下载并完成作业练习。好，今天的课就到此结束了，同学们再见。