师：同学们，大家好！今天我们一起学习初中数学北师大版八年级上册第二章第一节《认识无理数》第一课时。请同学们准备好几张全等的正方形纸片、剪刀、草稿纸等，下面开始我们今天的学习。龟兔赛跑的故事大家都很熟悉了，今天来看一个不一样的龟兔赛跑。
如图，有一水池呈直角三角形状，池边$AC = 60$米，$BC = 80$米，龟的速度为$8$米每分钟，兔的速度为$40$米每分钟。龟兔均从点$C$出发，龟沿$CB$跑，兔子沿$CA + AB$跑。第一个问题，今天的龟兔赛跑谁会取胜呢？它们各用了多长时间？请同学们先思考一下。
龟沿着$CB$跑，速度为$8$米每分钟，$CB$长$80$米，所以龟所用的时间为：$80÷8 = 10$分钟。兔子沿$CA + AB$跑，首先根据勾股定理计算直角三角形斜边$AB$的长。$AB$的平方等于$AC$的平方加上$BC$的平方，即$AB^{2} = 60^{2} + 80^{2} = 10000$，因为$100^{2} = 10000$，所以$AB$的长为$100$米。兔子跑的路程为$CA + AB = 60 + 100 = 160$米，兔子速度为$40$米每分钟，所以兔子用时：$160÷40 = 4$分钟。因为$4$分钟小于$10$分钟，所以兔子会取胜。
第二个问题，如果将$BC = 80$米改成$60$米，结果会怎样呢？
当$BC = 60$米时，龟用的时间为：$60÷8 = 7.5$分钟。那么兔子用了多长时间呢？为计算兔子所用时长，要先求出直角三角形斜边$AB$的长。设$AB$长为$m$米，根据勾股定理可得$m^{2} = AC^{2} + BC^{2} = 60^{2} + 60^{2} = 7200$。你能根据这个式子求出$m$的值吗？请同学们先自己计算一下。
同学们，求出来了吗？$m$是整数吗？是分数吗？是有理数吗？这里给出两个参考数值，$84^{2} = 7056$，$85^{2} = 7225$，$m^{2} = 7200$，$7200$在$7056$和$7225$之间，但$84$和$85$之间不能再找出一个整数，所以$m$不是整数。如果$m$是分数，那么$m$的平方也会是一个分数，而$7200$不是分数。因此$m$既不是整数，也不是分数。根据有理数的概念，$m$也不是有理数。
以上例子说明我们学习的有理数已经不够用了，日常生活中不能用有理数表示的现象还有很多，现在让我们动手体验一下吧。
活动探究一：如图是两个边长为$1$的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。请同学们先思考该如何剪拼，你有几种方法呢？
同学们，剪拼好了吗？下面给大家展示两种不同的拼法。
拼法一：把两个小正方形沿着其中一条对角线剪开，得到四个全等的直角三角形。把这四个直角三角形的直角边互相重合，拼接成如图所示的正方形。
拼法二：把其中一个正方形沿着两条对角线剪开，得到四个全等的直角三角形。然后把四个直角三角形的斜边与另一个正方形的四条边分别重合拼接成如图所示的正方形。同学们，你是怎样剪拼的呢？
根据上面的拼图活动，我们来思考几个问题。
一、设大正方形的边长为$a$，$a$满足什么条件呢？
因为两个小正方形边长为$1$，小正方形面积都是$1$，所以拼接的大正方形面积为$2$，边长为$a$的正方形面积为$2$，即$a$应满足$a^{2} = 2$。
二、$a$可能是整数吗？说说你的理由。
因为$1^{2} = 1$，$2^{2} = 4$，$a^{2} = 2$，$2$介于$1$和$4$之间，但$1$和$2$之间不存在整数了，所以$a$不可能是整数。
三、$a$可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
如果$a$是一个分数，那么它的平方也是一个分数。由于$a^{2} = 2$，$2$不是分数，所以$a$不可能是分数。
探究二：如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少呢？
根据勾股定理，可计算出直角三角形斜边的平方为$1^{2} + 2^{2} = 5$，所以以直角三角形斜边为边的正方形面积为$5$。若该正方形边长为$b$，$b$满足什么条件呢？根据前面求出的结果，$b$满足$b^{2} = 5$。$b$是有理数吗？因为$2^{2} = 4$，$3^{2} = 9$，$5$在$4$和$9$之间，但$2$和$3$之间不存在整数，分数的平方为分数，也不是整数。因为没有一个整数和分数的平方等于$5$，所以$b$不是有理数。
在上面两个问题中，数$a$、$b$确实存在，但都不是有理数。
下面我们通过几个例题来继续感受不能用有理数表示的现象。
例一：如图，在三角形$ABC$中，$CD$垂直于$AB$，垂足为点$D$，$AC = 6$，$AD = 5$，则$CD$的长为（ ）
A. 整数
B. 分数
C. 有理数
D. 以上都不对
请同学们思考一下，$CD$的长是什么数呢？