师：同学们，大家好，今天我们一起来学习北京师范大学出版社八年级上册第三章第三节“轴对称与坐标变化”。“雁啼红叶天，人醉黄花地”，秋天，人们独爱枫叶，不仅因其颜色变换，更在于它的形状。同学们，观察一下枫叶是什么图形呢？
生：它是轴对称图形。
师：非常好，那你还记得轴对称的性质吗？
生：对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
师：很好。在上节课，我们学习了平面直角坐标系，那么在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间有什么关系呢？今天我们就一起来探究。首先，我们来探究关于 y 轴对称的点的坐标关系。大家看，在平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗，两面小旗之间有怎样的位置关系？
生：两面小旗关于 y 轴对称。
师：那对应点的坐标有什么共同特点呢？我们只需要关注关键点的坐标变化，就能得到图形上任意点的坐标变化。首先写出关键点 A、B、C、D 的坐标，再写出它们关于 y 轴对称的点的坐标。点 A（1， -2，6），点 B（1， -5，4），点 C（1， -2，4），点 D（1， -2，0）。请同学们观察关于 y 轴对称的两个点的坐标特点，A（2，6），A?（ -2，6）；点 B（5，4），B?（ -5，4）；点 C（2，4），C?（ -2，4）；点 D（2，0），D?（ -2，0）。大家发现了什么？
生：它们的横坐标互为相反数，纵坐标相同。
师：非常棒，因此我们可以得到：关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。接下来，我们类比探究关于 x 轴对称的点的坐标关系。首先在坐标系里画出小旗 A、B、C、D 关于 x 轴的对称图形。同学们，还记得做轴对称图形的作图方法吗？
生：只需要做出图形中的关键点 A、B、C、D 关于 x 轴的对称点，也就是将图形对称的问题转化为点的对称的问题。
师：对，首先过点 A 向 x 轴作垂线并延长至 A?，使点 A?到 x 轴的距离与点 A 到 x 轴的距离相等，可得 A?的坐标为（2， -6）。过点 B 向 x 轴作垂线并延长至 B?，使点 B?到 x 轴的距离与点 B 到 x 轴的距离相等，可得 B?的坐标为（5， -4）。过点 C 向 x 轴作垂线并延长至 C?，使点 C?到 x 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等，可得 C?的坐标为（2， -4），而点 D 在 x 轴上，所以它的对称点就是它本身，所以 D?的坐标为（2，0）。再依次连结各点，即可得小旗 A、B、C、D 关于 x 轴的对称图形。那么它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系呢？我们通过表格直观地观察关于 x 轴对称的两点的坐标特点。点 A（2，6）、A?（2， -6）；点 B（5，4）、B?（5， -4）；点 C（2，4）、C?（2， -4）；点 D（2，0）、D?（2，0）。大家发现了什么？
生：它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
师：没错，因此可以得到：关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。那么如何利用所学知识说明这个规律的合理性呢？首先，在平面直角坐标系中任意取一点 P，根据坐标的定义，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足对应的数为 a，向 y 轴作垂线，垂足对应的数为 b，作出点 P 关于 x 轴的对称点 P?。由轴对称的性质可知，PP?与 x 轴垂直且被 x 轴平分，所以 P?对应的横坐标为 a。P?与 P 到 x 轴的距离相等，所以 P?的纵坐标为 -b，点 P?的坐标为（a， -b）。因此，关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。同样的，做出点 P 关于 y 轴的对称点 P?。由轴对称的性质可知，P?、P?与 y 轴垂直，且被 y 轴平分。由垂直可得 P?与点 P 的纵坐标相同，由平分可得 P?与点 P 到 y 轴的距离相等，所以 P?的横坐标为 -a，点 P?的坐标为（ -a，b）。由此我们便可得证：关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们一起观察一下这个规律，关于 x 轴，即横轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴，即纵轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们可以简单地记为：关于什么轴对称，什么坐标不变，另一个坐标变为相反数。这样我们便把图形或点关于直线对称的这一几何特点用坐标这一代数形式表现了出来，这也体现了数形结合的思想。那么反过来，如果两个点的坐标具有这样的关系，那么它们关于坐标轴对称吗？我们一起来探究。首先在直角坐标系中依次连结下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5， -1），（3，0），（4， -2），（0，0）。同学们可以先暂停视频实践操作一下，观察你会得到一个怎样的图案呢？
生：像一条小鱼。
师：对，如图，它像一条小鱼。那么将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以 -1，即变为它的相反数，再依次连结这些点，你又会得到怎样的图案呢？我们首先进行坐标变化。纵坐标保持不变，横坐标变为它的相反数，所以变化后的坐标为（0，0），（ -5，4），（ -3，0），（ -5，1），（ -5， -1），（ -3，0），（ -4， -2），（0，0）。再依次连结这些点，同学们可以暂停视频实践操作一下。
生：得到了一个与原图案形状大小一样的图案。
师：没错，如图，我们得到了一个与原图案形状大小一样的图案，那么这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？