师：同学们，你们好！今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理的回顾与思考。第一章共分为三节内容，第一节是探索勾股定理，第二节是“一定是直角三角形吗”，第三节是勾股定理的应用。我们先从熟悉的知识点入手，请大家回顾并填写第一章关于概念的问题。填好了吗？一起看第一题，勾股定理的概念。如果直角三角形两直角边分别为(a)、(b)，斜边为(c)，那么(a)平方加(b)平方等于(c)平方。
第二，勾股定理的各种表达式。在直角三角形中，(\angle C = 90^{\circ})，(\angle A)、(\angle B)、(\angle C)所对的边分别为(a)、(b)、(c)。根据(a^{2} + b^{2} = c^{2})，我们可以变形得到(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}})，(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}})，(a = \sqrt{c^{2} - b^{2}})。
第三，勾股定理逆定理的概念。在(\triangle ABC)中，若三边(a)、(b)、(c)满足(a^{2} + b^{2} = c^{2})，则(\triangle ABC)为直角三角形，并且(\angle C = 90^{\circ})。
第四，勾股数。满足(a^{2} + b^{2} = c^{2})的三个正整数，称为勾股数。比如我们经常遇到的(3)、(4)、(5)；(6)、(8)、(10)；(5)、(12)、(13)。
通过上面的问题，我们复习了第一章的相关知识点。请大家思考一下，直角三角形边角之间分别存在着什么样的关系？想好了吗？直角三角形的边满足勾股定理，即(a^{2} + b^{2} = c^{2})；角有一个角是直角，另外两个角互余，也就是相加等于(90^{\circ})。再来看下一个问题，如何判断一个三角形是直角三角形？
可以用两种方法解决。如果从角出发，有一个角是直角的三角形是直角三角形，这就是定义。从边出发，利用勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。通过刚才的回顾与思考，同学们自己建立一下本章的知识结构图。一起来看，这是本章的知识结构图。
本章从直角三角形出发，引出勾股定理和勾股定理的逆定理。通过勾股定理和勾股定理的逆定理，我们可以解决以下四类问题，分别是：已知两边求第三边、判定直角三角形、判定勾股数、判定垂直。我们一起来探究一下这些问题该如何解决。
探究一：利用勾股定理求边长。我们来看两个问题。其一，已知直角三角形的两边长分别为(3)、(4)，求第三边的平方。大家动动脑筋好好想。一起分析，本题需要运用分类讨论思想，这里的(4)既可以作为直角边，也可以作为斜边。第一种情况，当两直角边分别为(3)和(4)时，第三边的平方就等于(3^{2} + 4^{2} = 25)。第二种情况，当斜边为(4)，一直角边为(3)时，第三边长的平方为(4^{2} - 3^{2} = 7)。
请同学们再来体会一下第二题。在(Rt\triangle ABC)中，(\angle ACB = 90^{\circ})，(CD\perp AB)于(D)点，(AC = 20)，(BC = 15)。第一问，求(AB)的长；第二问，求(CD)的长。想想看，你们得到答案了吗？我们来看第一问。因为在(\triangle ABC)中，(\angle ACB = 90^{\circ})，(AC = 20)，(BC = 15)，所以(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{20^{2} + 15^{2}} = 25)。
第二问求(CD)的长。从图中可以看出(CD)是(\triangle ACB)的高。第一问中我们得出了(AB)的长为(25)，就可以直接求出(\triangle ACB)的面积，从而得到(CD)的长。我们来看完整的过程。因为在(\triangle ABC)中，(\angle ACB = 90^{\circ})，(AC = 20)，(BC = 15)，所以(\triangle ABC)的面积等于(\frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×20×15 = 150)。因为(CD\perp AB)，所以(CD)是(\triangle ABC)边(AB)上的高，所以(\frac{1}{2}×AB×CD = 150)，求出(CD = 12)。
探究二：利用勾股定理求图形的面积。我们来看两个小题。第一，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为多少？从图形中我们可以看到，我们只要求出正方形边长的平方就能得到正方形的面积。而且图形右边是一个直角三角形，根据勾股定理，正方形边长的平方就等于(10^{2} - 8^{2} = 36)，所以正方形的面积为(36)平方厘米。
第二小题，求斜边长为(17)厘米，一条直角边长为(15)厘米的直角三角形的面积是多少？我们可以类比第一问的分析方法来解决此题。你们得到答案了吗？另一条直角边，我们可以根据勾股定理得到(\sqrt{17^{2} - 15^{2}} = 8)厘米。直角三角形的面积，就可以利用两直角边积的(\frac{1}{2})，即(\frac{1}{2}×8×15 = 60)平方厘米。
探究三：利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状或求角度。来看第一个问题，如图，哪些是直角三角形，哪些不是直角三角形？说说你的理由。
从图中可以得到，(4)、(5)是直角三角形，(1)、(2)、(3)、(6)不是直角三角形。我们选取依次来分析第一个三角形。以三角形三边为斜边，结合表格构造直角三角形，根据勾股定理得到三边的平方分别为(5)、(8)、(9)，很明显(5 + 8 \neq 9)，所以第一个三角形不是直角三角形。类比第一个判断，我们求出第四个三角形三边的平方分别为(10)、(10)、(20)，很明显(10 + 10 = 20)。根据勾股定理的逆定理可以得到第四个是直角三角形，同理(2)、(3)、(5)、(6)都可以这样解决。
第二个问题，在(\triangle ABC)中，(\angle A)、(\angle B)、(\angle C)所对的边分别为(a)、(b)、(c)，且((a + b)(a - b) = c^{2})，请你选择正确的选项。你们得到答案了吗？是的，本题选(A)。根据题目中给的信息，((a + b)(a - b) = c^{2})，利用平方差公式，我们能得到(a^{2} - b^{2} = c^{2})，移项得到(a^{2} = b^{2} + c^{2})。所以(\triangle ABC)是以(\angle A)为直角的直角三角形，所以选择(A)选项。