师：今天我们共同来学习北师大版八年级上册第一章勾股定理第一节探索勾股定理。下面我们来看一个问题，在生活中，我们常看到一些不和谐的小路。比如在公园里，从 A 到 C 原本铺设的路径是由 A 到 B 再到 C，但实际常出现一条不和谐的路径 AC。大家思考一下，人们为什么会走 AC 这条路径呢？如果走这条路径，它比原路径会少走多少米呢？请同学们带着这样的问题进入本节课的思考。下面来看这样一个实际问题。
在方格纸中有等腰直角三角形 ABC，我们分别以等腰直角三角形的两直角边与斜边向外构造正方形。若把方格纸的单位长度看作 1，那么这时这三个正方形的面积有何关系呢？通过计算，我们很容易发现以两直角边为边长的小正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。也就是说，等腰直角三角形以两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长正方形的面积。
下面，我们再来看，在方格纸中画出两个非等腰直角三角形，同样分别以两直角边和斜边向外构造正方形。大家看看这三个正方形面积又有什么关系呢？这里我们把方格纸的单位长度仍看作 1。那如何计算以斜边为边长的正方形 C 的面积呢？请同学们思考一下。
好，我们先看左面的图，大家很容易算出 A 的面积等于 4，B 的面积等于 9。右图中 A 的面积等于 16，B 的面积等于 9。A 和 B 的面积可通过方格纸直接得出，那对于 C 的面积怎么求呢？同学们思考后，我们来总结三种求 C 面积的方法。
第一种方法是分割法，把以斜边为边长的正方形分割为四个直角三角形和一个小正方形，将 4 个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，就能得出 C 的面积。
第二种方法是补全法，通过在正方形的四个角补充直角三角形，构造出一个较大的正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，就得到中间黄色部分正方形 C 的面积。
第三种方法是拼接法，把图中红色两个不完整的小正方形拼成一个完整的正方形，中间绿色部分也拼成一个完整的小正方形，这样由完整小正方形的面积就能构造出整个 C 的面积。请同学们仔细观察这三种方法：分割法、补全法、拼接法。
在这样的图形中，通过计算 A、B 和 C 的面积关系，我们发现左图和右图得出的答案一致，都是 A 的面积加 B 的面积等于 C 的面积。若 A 的边长为 a，其面积可表示为 a2，B 的面积表示为 b2，C 的面积表示为 c2，那么它们存在的关系式可写成等式：a2 + b2 = c2。用语言表述就是：在直角三角形中，a、b 为两直角边，c 为斜边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
好，下面请同学们画图验证我们刚才得出的结论。请以 1.6 厘米、2.4 厘米为直角边构造一个直角三角形，然后测量斜边 c 的长度，验证结论是否正确。
同学们画图后会发现，两直角边的平方和等于斜边的平方，这再次验证了在等腰直角三角形以及拓展到一般直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方这个结论。即如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2，这就是我们本节课要介绍的勾股定理。在生活中，我们通常把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在西方，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理。
下面考察同学们对勾股定理的理解情况，请大家看屏幕上的 3 个判断题，依据勾股定理判断对错，按下暂停键思考一下。
第一题，题目说在三角形 ABC 中，三条边长分别为 a、b、c，得出 a2 + b2 = c2。在勾股定理中，条件是在直角三角形 ABC 中，而这里没明确三角形 ABC 是否为直角三角形，所以无法判断 a2 + b2 是否等于 c2，第一题结论错误。
第二题，若三角形 ABC 中 a = 6，b = 8，则 c = 10。同样，题目没明确三角形 ABC 是否为直角三角形，它可能是锐角三角形或钝角三角形，此时 c 的值无法确定，所以第 2 题答案也是错误的。
第三题，若 a、b、c 分别是三角形 ABC 三条边长，且∠A = 90°，则 b2 + c2 = a2。因为题目告知∠A = 90°，可知三角形 ABC 是直角三角形。在记三角形 ABC 时，通常把∠A 的对边用小写字母 a 表示，所以可利用勾股定理判断两直角边的平方和等于斜边的平方，第三题答案正确。
通过这三道题，我们知道在解题时，若利用勾股定理，首先要判断这个三角形是否是直角三角形，其次要找准直角边和斜边的位置关系。
好，下面请同学们根据勾股定理完成下面例题。在直角三角形中，两直角边长 BC = 5 厘米，AC = 12 厘米，求斜边 AB 的长度。请同学们拿出研讨纸，尝试完成本题解题，注意书写过程。利用勾股定理，在直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求出斜边 AB 的值。
好，下面请同学们利用勾股定理完成例 2 的解题。例 2 中，如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 6 米处折断倒下，树顶落在离树根 8 米处，问大树在折断之前高为多少米？请同学们在研讨纸上独立完成本题求解。