师：同学们好，欢迎来到数学课堂。接下来，我们一起学习初中数学北师大版八年级上册第六章第四节数据的离散程度第二课时。上节课，我们学习了极差、方差、标准差这些表示数据离散程度的统计量，知道极差等于最大数据减最小数据，方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，标准差等于方差的算术平方根。现在，请同学们和老师一起从具体情境中再次感受方差、极差、标准差这些统计量的内涵。
大家看，这是某一天A、B两地的气温变化图。请回答问题：不进行计算，说说A、B两地这一天气候的特点。同学们观察一下，A、B两地的气温走势图都是折线图。A地气温先下降再上升，上升到最高点后又下降；B地气温同样先下降再上升，上升到最高点后下降。但对比两者，B地日间气温上升幅度没有A地大，A地日间温度上升比较陡，所以A地的日温差较大，B地的日温差较小。同时，从图像能清晰看到，A地的最高温度比B地高，A地的最低温度比B地低。所以，这一天A地的日温差较大，B地的日温差较小，A地的最高气温比B地高，A地的最低气温比B地低。
那我们再来分别计算这一天A、B两地气温的平均数和方差，看看与刚才的看法是否一致。由于每时每刻气温都在变化，24小时气温数据很多，我们从折线图中获取A地每小时的气温，比如18摄氏度、17.5摄氏度、17摄氏度、16摄氏度等等。同样方法获取B地的气温数据。经过计算，A地24个数据的平均气温大约为20.42摄氏度，方差大约为7.76；B地24个小时平均气温大约为21.35摄氏度，方差大约为2.78。我们用这24个数据的样本方差和平均数，来估计A、B当天气温的平均数和方差，也就是用样本去估计总体。从方差来看，A地的气温日温差比B地日温差波动大，A地和B地的平均气温相差不大。这里用到了样本去估计总体的方法。
下面看第二个问题。某校要从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中学生运动会跳远比赛，预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表。问题一，它们的平均成绩分别是多少？问题二，甲、乙这10次比赛成绩的极差、方差分别是多少？同学们可以暂停一下，根据所给数据进行计算。
根据平均数和方差的计算公式，我们求得甲选手10次成绩的平均成绩为601.6厘米，乙选手10次成绩的平均数为599.3厘米。甲选手的方差为65.84，乙选手的方差为284.21，甲选手的极差为28厘米，乙选手的极差为50厘米。
那这两名运动员的运动成绩各有什么特点呢？我们可以根据刚才计算的平均数、极差、方差来比较。可以看出甲运动员成绩较稳定，因为他的极差和方差都比较小，而且甲的平均成绩比乙好。不过乙比较有潜质，因为乙的最优成绩比甲的最优成绩好。同学们在叙述两名运动员运动成绩特点的时候，可以根据自己所选的数据进行合理说明。
再看，历届比赛表明成绩达到596厘米就很可能夺冠，你认为为了得冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛表明成绩达到610厘米就能打破纪录，你认为为了打破纪录应该选谁参加这场比赛？我们看，在10次比赛中，甲运动员有9次超过596厘米，而乙仅有5次超过596厘米。所以一般应选甲运动员参加这项比赛。但要打破610厘米的跳远纪录，一般应选乙运动员，因为乙运动员超过610厘米的成绩有613、618、624，共4次，而甲选手超过610厘米的成绩只有612、613这两次。
同学们，通过刚才两个例题，我们发现方差的作用是反映数据的波动情况。方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小。同时，有些时候我们需要用样本方差去估计总体方差，比如在例题一中，我们用每个小时的气温的方差来估计当天气温的方差，从而判定当天气温的波动情况。另外，对于一组数据而言，方差并不是越小越好。比如在例题2中，甲运动员方差小，成绩稳定，但当我们要选择有潜质、爆发力高，能打破610厘米运动记录的运动员时，仅用方差就很难抉择了。
接下来，请同学们跟随老师做一组练习，再次感受方差、标准差、极差这些表示离散程度统计量的魅力。
练习一，学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名代表学校参加市里举办的汉字听写大赛。4名同学平时成绩的平均数$\overline{x}$及方差$S^{2}$如下表所示。如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，应该选择谁呢？同学们思考一下并作答。这里要选成绩好且状态稳定的同学，就是要选择平均数高且方差小的学生。通过表格可以看出，乙同学和丙同学的平均数均为98，是最高的。乙同学的方差为1.2，丙同学的方差为1。所以我们应该选择丙同学，他成绩好且状态稳定。
练习二，某选手在比赛中的成绩分别是90、87、92、88、93，方差是5.2。如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会怎样变化？请选填变大、变小、不变或不能确定。该选手原本成绩为90、87、92、88、93，去掉最高分93和最低分87，此时数据变为90、92、88这三个数据，这三个数据的平均分为90，方差大约为2.6，明显小于原先数据的方差5.2。所以去掉最高分和一个最低分，该选手成绩的方差会变小。
练习三，某日甲、乙两地的气温如右图所示。右图是气温的折线图，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$，那么甲、乙两地的气温方差是相等，还是甲的方差大于乙的方差，还是甲的方差小于乙的方差？这个问题和例题一相似，因为要估计甲、乙两地当天的气温方差，气温连续变化，数据量大，所以我们可以从图像中获取12个数据的气温，用样本方差去估计总体方差。同学们课下自己作答。答案是甲的方差小于乙的方差，这里用到了用样本方差来估计总体方差。