师：同学们好，欢迎来到数学课堂。接下来，我们一起学习初中数学北师大版八年级上册第六章第四节《数据的离散程度》第一课时。同学们，还记得上节课学的表示数据集中趋势的统计量有哪些吗？通过上节课，我们了解了平均数、众数、中位数这些表示数据集中趋势的统计量，以及它们的计算方法。那么，对于数据，还有其他衡量标准吗？这些统计量又是什么呢？接下来，我们通过一个问题背景来探究。
为提高农副产品国际竞争力，一些行业协会对农副产品规格进行划分。某外贸公司要出口一批规格为75克的鸡腿，现有两个厂家供货，价格相同，鸡腿品质相近。质检员从甲、乙两厂产品中各抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：克）如下。我们能直观看到甲、乙两厂抽样的20只鸡腿质量规格，并将其均匀表示在图像中。如果外贸公司要选择购买哪家公司的鸡腿，可以用什么量来描述呢？请计算后说明。
生：用平均数这个统计量来刻画。
师：通过计算，我们发现甲厂鸡腿平均质量为75克，乙厂鸡腿平均质量也为75克。我们用蓝线表示平均质量，从图中可以看到，甲厂的鸡腿均匀分布在蓝线附近，乙厂的鸡腿同样均匀分布在蓝线附近。那么，这个结果说明了什么呢？由于甲厂和乙厂鸡腿平均质量都为75克，再用平均数解决这个问题就行不通了，所以我们需要采用新的衡量标准。采用什么样的标准呢？我们可以用表示数据波动性的量来选择购买哪家公司的鸡腿。这个量具体是什么呢？我们通过一个小问题熟悉一下。从甲厂抽取的这20只鸡腿质量，最大值是多少？最小值呢？它们相差几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量，最大值、最小值分别是多少？它们相差几克？
生：观察甲厂的20个数据，最大值为78克，最小值为72克，差值为6克。乙厂最大值为80克，最小值为71克，差值为9克。
师：通过这组数据，我们看到甲厂和乙厂的最大值、最小值都不相等，差值也不同。那么，这个差值代表什么呢？观察甲、乙两厂的图像，我们发现甲厂数据相对乙厂更稳定，波动较小，而乙厂波动较大。所以，我们可以采用一个统计量——极差，即一组数据中最大数据与最小数据的差，来刻画这组数据离散程度，进而反映数据波动大小。通过刚才分析，如果只考虑鸡腿规格，推荐外贸公司购买哪个厂家的鸡腿呢？
生：甲厂极差为6克，乙厂极差为9克，外贸公司应购买甲厂的鸡腿。
师：同学们要记住，极差反映的是数据波动情况大小。货比三家，现在问题复杂了，丙厂也参与竞争。我们从该厂抽样调查了20只鸡腿，质量数据如下。问题一，丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？同学们可以暂停计算一下。
生：计算得出丙厂平均数为75克，观察20组数据，最大值为78克，最小值为72克，极差为78 - 72 = 6克。
师：那么，如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距呢？同学们先分别求出甲、丙两厂20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。这里我们发现，如果求与平均数的差距，需要用这20只鸡腿质量与平均数差的绝对值来刻画。为什么用绝对值呢？观察丙厂20组数据，平均数为75克，如果不加绝对值，可能出现正负抵消情况，和可能为零或相互抵消，影响最终数据结果。在甲、丙两厂竞争中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求呢？为什么？刚才我们知道甲厂和丙厂鸡腿质量平均数均为75克，极差也均为6克，再用极差无法解决问题，所以要考虑其他表示离散程度的统计量。这个统计量是什么呢？同学们思考一下。
在数学上，刻画数据离散程度还可以用方差或标准差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，公式如下。在方差公式中，同学们要特别注意：(\overline{x})代表这组数据(x_1)，(x_2)，(x_3)，(\cdots)，(x_n)的平均数；(S^2)代表方差这个标准量；标准差是方差的算术平方根。一般来说，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据越稳定。特别说明，标准差单位与已知数据单位相同，使用时应标明单位；方差单位是已知单位的平方，使用时可不标明单位。
在刚才问题背景下，甲、丙两厂竞争，用平均数或极差无法解决问题，所以可以用方差解决。来看求方差的步骤：首先，方差公式中的(\overline{x})代表原始数据的平均数，所以第一步求原始数据的平均数；第二步求原始数据中各数据与平均数的差；第三步将差平方；第四步求所得各平方数的平均数。可以概括为“一均二差三方四均”，“一均”是原始数据的平均数，“四均”是各平方数的平均数。同学们可以在草稿纸上计算甲、丙两厂的方差。