师：同学们好，本节课我们来学习北师大版八年级上册第一章第二节“一定是直角三角形吗”。首先，我们回顾一下上节课所学内容。在直角三角形中，三条边有怎样的关系呢？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们常说的勾股定理。如果用(a)、(b)表示直角边，(c)表示斜边，那么(a^{2}+b^{2}=c^{2})。
现在，如果反过来，已知一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形吗？带着这个疑问，我们开启今天的第一个探究。同学们请准备好草稿纸、铅笔、直尺等学习工具，按要求画出满足条件的三角形：
第一组：画出边长为(2)厘米、(3)厘米、(4)厘米的三角形；
第二组：画出边长为(3)厘米、(4)厘米、(5)厘米的三角形；
第三组：画出边长为(5)厘米、(6)厘米、(7)厘米的三角形；
第四组：画出边长为(6)厘米、(8)厘米、(10)厘米的三角形。给大家一分钟时间，动手画一画。
老师已经在黑板上画好了，同学们看看和你们画的是否一样。这四个三角形画好了，它们分别是什么形状呢？我们可以借助量角器测量角的度数来判定三角形的形状。
第一组，经过测量，其中一个角大于(90)度，这是一个钝角三角形；
第二组，测量后发现有一个角等于(90)度，这是一个直角三角形；
第三组，三个角都小于(90)度，这是一个锐角三角形；
第四组，测量得有一个角等于(90)度，这也是一个直角三角形。
通过测量角度，我们判定出了三角形的形状。那么三角形的形状与边长之间有什么关系呢？我们来看：
第一组，(2^{2}=4)，(3^{2}=9)，(4^{2}=16)，(4 + 9＜16)，即(2^{2}+3^{2}＜4^{2})；
第二组，(3^{2}=9)，(4^{2}=16)，(5^{2}=25)，(9 + 16 = 25)，即(3^{2}+4^{2}=5^{2})；
第三组，(5^{2}=25)，(6^{2}=36)，(7^{2}=49)，(25 + 36＞49)，即(5^{2}+6^{2}＞7^{2})；
第四组，(6^{2}=36)，(8^{2}=64)，(10^{2}=100)，(36 + 64 = 100)，即(6^{2}+8^{2}=10^{2})。
我们找出了这四组三角形三边平方之间的关系，同学们观察这四组，有什么发现？很容易看出，像第二组、第四组，当两边的平方和等于第三边的平方时，这是直角三角形。如果用(a)、(b)、(c)表示三角形三边，我们就有这样一个猜想：如果三角形三边长(a)、(b)、(c)满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，那么这个三角形是直角三角形。
不过，同学们想想，我们刚才是通过量角器测量角度判定三角形形状的，而且作图过程可能存在误差，那这个猜想正确吗？能给出更有说服力的理由吗？这就需要对猜想进行推理论证。论证前，我们要分析猜想的已知和求证。已知三角形三边长(a)、(b)、(c)满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，求证这个三角形是直角三角形。问题明确了，同学们思考一下。
同学们思考好了吗？我们来看，看到(a^{2}+b^{2}=c^{2})，会联想到勾股定理，但勾股定理只适用于直角三角形，所以要用勾股定理得先构造直角三角形，那就从构造直角开始。
第一步，作(\angle ECF = 90^{\circ})；
第二步，在射线(CE)和射线(CF)上分别截取(CA_{1}=b)，(CB_{1}=a)；
第三步，连接(A_{1}B_{1})。这样就构造出了一个直角三角形。
在左边(\triangle ABC)中，已知(a^{2}+b^{2}=c^{2})；在右边构造的(Rt\triangle A_{1}B_{1}C)中，已知(\angle C = 90^{\circ})，(CA_{1}=b)，(CB_{1}=a)。在(Rt\triangle A_{1}B_{1}C)中，由勾股定理可得，斜边(A_{1}B_{1}^{2}=CB_{1}^{2}+CA_{1}^{2})，因为(CA_{1}=b)，(CB_{1}=a)，所以(A_{1}B_{1}^{2}=a^{2}+b^{2})。又因为已知(a^{2}+b^{2}=c^{2})，通过等量代换可得(A_{1}B_{1}^{2}=c^{2})，也就是(A_{1}B_{1}=AB)。
在(\triangle ABC)和(\triangle A_{1}B_{1}C)中，(CA = CA_{1})，(CB = CB_{1})，(AB = A_{1}B_{1})，根据“SSS”可判定(\triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C)。由全等三角形的性质可知，对应角相等，即(\angle C = \angle C = 90^{\circ})，从而判定(\triangle ABC)是直角三角形。
经过论证，说明我们的猜想是正确的，由此得出结论：如果三角形三边长(a)、(b)、(c)满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，那么这个三角形是直角三角形，这个定理被称为勾股定理的逆定理。满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})的三个正整数，叫做勾股数。常见的勾股数有(3)、(4)、(5)；(6)、(8)、(10)；(5)、(12)、(13)；(7)、(24)、(25)等。以(3)、(4)、(5)为例，(3^{2}=9)，(4^{2}=16)，(5^{2}=25)，(9 + 16 = 25)，满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，且(3)、(4)、(5)是正整数，所以是勾股数。总结一下，勾股数要满足两个条件：一是满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})；二是必须是三个正整数。
我们得到了勾股数的概念，同学们思考一下，勾股数的倍数还是勾股数吗？我们设(a)、(b)、(c)为一组勾股数，即(a^{2}+b^{2}=c^{2})，它的(n)倍变为(na)、(nb)、(nc)。对于这组数，首先(na)、(nb)、(nc)是三个正整数，接下来判定它们是否满足两个数的平方和等于第三个数的平方。((na)^{2}+(nb)^{2}=n^{2}a^{2}+n^{2}b^{2})，根据乘法分配律逆运算，可提取(n^{2})，变为(n^{2}(a^{2}+b^{2}))，因为(a^{2}+b^{2}=c^{2})，所以又可写成(n^{2}c^{2})，进一步写成((nc)^{2})。这就说明((na)^{2}+(nb)^{2}=(nc)^{2})，且(na)、(nb)、(nc)是三个正整数，所以勾股数的倍数仍然是勾股数。