师：同学们，大家好，很高兴又和大家见面了。本节课我们继续复习第十五章分式小结的第二课时。首先，来看本章的知识结构图。上节课我们围绕分式进行复习，加深了对这部分知识的理解与掌握。这节课我们复习分式方程，将从分式方程的概念、解法与应用三个方面展开。
先看分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。比如：$x - \frac{1}{2} = 3$，$\frac{x + 1}{x - 2} - 1 = \frac{x^2 - 5}{4}$。使方程等号两边相等的未知数的值就是分式方程的解。
那大家真的认识分式方程了吗？来看下面的判断题，下列方程中哪些是关于$x$的分式方程？我们来分析一下。第一题，虽然有分母，但分母中不含有字母，所以它不是分式方程。第2题，分母中有字母$a$，但$a$不是这道题中表示未知数的字母，因此第2题也不是关于$x$的分式方程。第3题，分母中含有未知数$x$，所以它是关于$x$的分式方程。第4题，分母同样含有未知数$x$，也是关于$x$的分式方程。
我听到不同意见了。小强同学说，第四题方程左边可以化简约分得到$x - 1 = 1$，就变成整式方程，不是分式方程。大家觉得小强同学的说法正确吗？同学们要注意，判断一个式子是不是分式，或者判断一个方程是不是分式方程，不可以对原式进行任何变形与化简。所以，本题第三、四两小题都是关于$x$的分式方程。
接着看两个与分式方程的解的概念相关的练习。当$m$为何值时，关于$x$的方程$\frac{2}{m} - \frac{1}{x} = 3$的解为$1$。
分析题意，关于$x$的方程解为$1$，用符号语言表示就是$x = 1$。把$x = 1$代入原方程，就可转化为关于$m$的分式方程，从而解得$m = \frac{1}{2}$。
第二题，$x = 2$是否为方程$\frac{2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 2} - 3$的解？我们发现这个方程分母为$x - 2$，当$x = 2$时，原分式无意义。所以，$x = 2$不是原分式方程的解。
下面复习分式方程的解法。先看解方程$\frac{x + 1}{x - 2} - 1 = \frac{x^2 - 5}{4}$。思考一下怎么解分式方程，因为分母含有未知数，解分式方程的基本思路就是将其转化为整式方程。怎么转化呢？对，去分母，根据等式基本性质，等式左右两边同时乘以最简公分母，这也是解分式方程的一般方法。
先去分母，就得找到最简公分母。这题要先将等号右边分母$x^2 - 4$因式分解，原方程变形为$\frac{x + 1}{x - 2} - 1 = \frac{x^2 - 5}{(x + 2)(x - 2)}$，这样就能确定最简公分母是$(x + 2)(x - 2)$。方程两边同时乘以最简公分母，得到整式方程。
同学们注意，不要漏乘，常数项$-1$也要乘以最简公分母，然后去括号整理。去括号时，如果括号前面是负号，括号内每一项都要变号。最后整理化简解得$x = -\frac{1}{3}$。这题做完了吗？这是分式方程，需要检验。把$x = -\frac{1}{3}$代入最简公分母计算，$(x + 2)(x - 2) \neq 0$，所以原分式方程的解为$x = -\frac{1}{3}$。
复习一下解分式方程的基本步骤：第一步“化”，去分母，将分式方程化为整式方程；第二步“解”，解转化后的整式方程；第三步“检”，检验整式方程的解能否作为原分式方程的解。
做一道练习题，解分式方程$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x^2 - 1} = 1$。
解分式方程第一步做什么？对，去分母。先将分母$x^2 - 1$因式分解，确定最简公分母为$(x + 1)(x - 1)$，然后去分母，左右两边同时乘以最简公分母。同学们注意，等号右边常数项$1$不要漏乘。再去括号整理解得$x = 1$。
不要忘记检验，把$x = 1$代入最简公分母计算，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以$x = 1$不是原分式方程的解，原分式方程无解。
再看这道题，若关于$x$的分式方程$\frac{m - 1}{x - 1} = 2$的解为正数，求$m$的取值范围。
分析题意，分式方程解为正数，用符号语言表示就是$x > 0$，同时解存在，$x$不能等于什么？对，$x \neq 1$。所以对“解为正数”的正确理解是$x > 0$且$x \neq 1$。怎么求$m$的取值范围呢？
分析题目，在这个分式方程中，$m$可看作已知量。解这个分式方程，用含$m$的代数式表示$x$，转化为关于$m$的不等式来解决问题。
按照分析来写解题过程。首先解分式方程，解方程步骤是什么？先去分母转化为整式方程，得到$m - 1 = 2(x - 1)$。然后去括号移项合并同类项，用含$m$的代数式表示$x$，解得$x = \frac{m + 1}{2}$。
因为原方程解为正数，$x > 0$且$x \neq 1$，$x = \frac{m + 1}{2}$，用它替换$x > 0$且$x \neq 1$中的$x$，得到关于$m$的两个不等式：$\frac{m + 1}{2} > 0$且$\frac{m + 1}{2} \neq 1$。进一步解这两个不等式，解得$m > -1$且$m \neq 1$。
回顾这道题，先抓住题目中未知数等量关系的关键词，把文字语言转化为符号语言，使问题更明确，转化为关于$m$的两个不等式，求出$m$的取值范围。