师：同学们好，今天我们来学习人教版八年级上册第十四章第二节乘法公式第一课时——平方差公式。在前面，我们已经学习了同底数幂的乘法、除法、乘方以及整式乘法中的单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。今天要学的平方差公式，是在多项式乘多项式的基础上研究的新知识点，它能帮助我们简化运算，提高运算效率。
同学们，我们已经学过多项式与多项式相乘的法则，就是把第一个多项式的每一项分别同第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。下面，我们一起来展示一下大家的学习成果，请大家在老师这里任意选取3道题目，快速计算出结果，看谁算得又快又准。请同学们按下暂停键，认真思考一下，小试身手吧。
相信同学们已经很快地完成了计算，下面老师来展示一下运算过程。
第一道题，((x + 1)(x - 1))。我们把第一个多项式的(x)和(1)分别同第二个多项式相乘，得到(x^2 - x + x - 1)，合并同类项得(x^2 - 1)。
第二道题，((x + 1)(x + 3))。把第一个多项式的(x)和(1)分别同第二个多项式的(x)和(3)相乘，得到(x^2 + 3x + x + 3)，合并同类项得(x^2 + 4x + 3)。
第三道题，((y - 3)(y + 1))。把第一个多项式的(y)和(-3)分别同第二个多项式的(y)和(1)相乘，再把所得的积相加，得到(y^2 + y - 3y - 3)，合并同类项得(y^2 - 2y - 3)。
第四道题，((m + 2)(m - 2))，结果为(m^2 - 4)。
第五道题，((2x + 1)(2x - 1))，结果为(4x^2 - 1)。
同学们，你们做对了吗？这5道题的运算结果有什么不同？为什么会出现这类现象？善于思考的同学是不是已经发现，这5道题有两种不同的结果，一种类型是二项式，一种结果是三项式。为什么会出现这种现象呢？
大家是否已经发现，我们在进行这5道二项式乘二项式运算时，在合并一次项的时候，有些多项式乘多项式后一次项相互抵消掉了。哪几个算式的结果是二项式呢？我们很容易看到是第一题、第四题、第五题。我们来看相乘的两个多项式有什么共同特点？等号右边的积有什么共同特点？相乘的两个多项式的各项与积中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗？
我们来观察，等式的左边都是多项式乘多项式，等号的右边都是一个二项式。而且等号左边其中一个多项式是两数之和，另一个多项式是两数之差。所以我们总结出，左边是两数的和与两数差的乘积，右边呢？同学们能尝试总结一下吗？是的，右边是这两个数的平方之差。
我们用字母(a)、(b)分别表示这两个数，用(a + b)表示这两个数的和，用(a - b)表示这两个数的差。那我们是不是可以写成((a + b)(a - b) = a^2 - b^2)。用文字描述为：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
这里我们观察平方差公式，((a + b)(a - b))是多项式相乘，它是((a + b)(p + q))中(p = a)，(q = -b)的特殊情形。
那同学们请思考一下，你能知道这个公式怎么推导出来的吗？是的，我们学习了多项式乘多项式，我们可以用多项式乘多项式的法则进行运算，((a + b)(a - b))乘开以后得到4项，(a^2 - ab + ab - b^2)，合并同类项，得(a^2 - b^2)。中间两项合并同类项以后相互抵消，最后得到(a^2 - b^2)的结果。我们发现这个结果是两个数的平方差，所以我们称它为平方差公式。
我们观察到平方差公式是二项式乘以二项式，化简后的结果仅有两项。因此我们可以运用平方差公式简化运算，提高运算效率。
除了从代数的角度推导平方差公式，我们能不能从几何的角度来说明平方差公式呢？有这样一个长方形，它的长是(a + b)，宽是(a - b)，它的面积可以表示为((a + b)(a - b))。我们把图一中长为(a - b)，宽为(b)的黄色长方形分割出来放到大长方形下面，得到图2的形状。这样图2的外框是一个边长为(a)的大正方形，空白部分为边长为(b)的小正方形，那阴影部分面积为大正方形面积减小正方形面积，即(a^2 - b^2)。从上述变化过程中，我们知道这两个图形的面积是不变的，所以可以得到这样一个等式((a + b)(a - b) = a^2 - b^2)，这样我们就从几何的角度说明了平方差公式。
那么平方差公式有怎样的特点呢？在公式的左侧是两个多项式相乘，这两个多项式都有字母(a)，并且(a)的符号相同；这两个多项式含有字母(b)，并且(b)的符号相反。什么样的多项式相乘可以利用平方差公式呢？我们来看平方差公式的结构特点，在公式的左侧是两个多项式相乘，这两个多项式都有字母(a)，并且(a)的符号相同；这两个多项式含有字母(b)，并且(b)的符号相反。而右边是这两个数的平方差，是哪项的平方减哪项的平方呢？没错，是用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。特别提醒同学们一下，公式中的(a)和(b)既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式。
下面我们来尝试一下用平方差公式解决几道习题，注意能否运用平方差公式进行计算，我们需要找到公式中相同项(a)、相反项(b)，所得结果应为相同项(a)的平方减相反项(b)的平方。
第一道题，((3x + 2)(3x - 2))，这里(3x)是相同项，相当于公式中的(a)，( + 2)、(-2)是相反项，相当于公式中的(b)。对应的结果为(a)的平方减(b)的平方，应该是((3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4)。
再来看第二道题，(( - x + 2y)( - x - 2y))。这里能说出它的相同项和相反项吗？相信大家已经发现了，这里(-x)是相同项，相当于公式中的(a)，(2y)、(-2y)是相反项，(2y)相当于公式中的(b)。我们可以用公式得到结果(a^2 - b^2)，所以原式( = (-x)^2 - (2y)^2)，计算结果为(x^2 - 4y^2)。
同学们，通过前面的学习，大家是否掌握了平方差公式呢？我们来练习几道题，下列各式的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？同学们可以按下暂停键想一想。
相信同学们已经发现了错误。这几道题要运用平方差公式解决，就必须符合公式的结构特点，也就是我们需要在公式中找到相同项(a)和相反项(b)，如果两个都是相同项(a)或者都是相反项(b)，就不能运用平方差公式进行计算，结果应该是把相同项(a)的平方减相反项(b)的平方。
我们来看第一道题，((x + 2)(x - 2) = x^2 - 2)。这道题很容易发现(x)是相同项，相当于公式的(a)，( + 2)、(-2)是相反项，相当于公式的(b)，符合平方差公式的结构特点，我们可以把(x)的平方减去(2)的平方，得到(x^2 - 4)。
第二道题，(( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a^2 - 4)。这道题能找到相同项吗？刚开始同学们可能觉得有点困难，老师建议大家利用加法的交换律把等式的左边进行变形成(( - 2 - 3a)( - 2 + 3a))，这样就容易找到(-2)是相同项，(-3a)和(3a)是相反项，应把相同项(-2)的平方减去(3a)的平方，结果应该为(4 - 9a^2)。
我们来看第三道题，这道题对不对呢？我们看这是一个二项式乘二项式，符合平方差公式的结构特点吗？运用((a + b)(a - b) = a^2 - b^2)，应该得到((2x)^2 - 2^2)。这里(2x)的系数(2)没有进行平方，所以应改正为((2x)^2 - 2^2)，结果为(4x^2 - 4)。
第四道题，(( - 3a - 2)(3a + 2))，这里是二项乘二项。我们发现(-3a)和(3a)是相反数，(-2)和(2)是相反数，找不到相同项。我们再尝试一下把(-3a - 2)前面添上一个负号，根据乘法的分配律可以得到(-(3a + 2))。经过这样处理以后，发现(3a)、(3a)是相同项，(2)是相同项，还是找不到相反项。所以第四道题不符合平方差公式的结构形式，运算结果是错误的，这里只能运用多项式乘多项式进行运算。