师：同学们好，欢迎进入数学课堂。今天我们学习初中数学人教版八年级上册第14章第一节同底数幂的乘法第一课时。同学们，跟我一起回忆一下有理数乘方的知识。第一题，3个2相乘，把它记作$2^3$ 。第2题，5个a相乘，把它记作$a^5$ 。第三题，n个a相乘，把它记作$a^n$ 。那同学们还记得什么叫做乘方吗？
生：求几个相同因数积的运算叫做乘方。
师：非常好。同学们看，$a^n$表示什么意义呢？这里的a叫什么？n叫什么？$a^n$又叫什么呢？
生：$a^n$表示n个a相乘，这里的a叫做底数，n叫做指数，$a^n$叫做幂。
师：没错。超级计算机是功能最强、运算速度最快、存储容量最大的一种计算机，多用于国家高科技领域和高级计算，在天气预报、水文研究、科研和军事等方面都有广泛的应用，是一个国家科研水平和综合国力的重要标志。中国国防科技大学研制的天河一号超级计算机部署在国家超级计算天津中心，其实测每秒运算速度达到千万亿次。那我们来看问题，一种电子计算机每秒可以进行1000万亿次，也就是$10^{15}$次运算，它工作$10^3$秒可以进行多少次运算？思考一，如何列出算式？$10^{15}$的意义是什么？同学们知道运算次数等于什么吗？
生：运算次数等于运算速度乘以运算时间。该计算机的运算速度是每秒$10^{15}$次，运算时间是$10^3$秒，所以运算次数就等于$10^{15}×10^3$。其中$10^{15}$表示的意义是15个10相乘。
师：非常棒。思考二，根据乘方的意义如何来计算这个算式$10^{15}×10^3$呢？
生：根据乘方的意义，$10^{15}$表示15个10相乘，$10^3$表示3个10相乘，再根据乘法的结合律，它相当于18个10相乘，把它记作$10^{18}$ 。
师：观察得很仔细。同学们观察一下$10^{15}$与$10^3$这两个因数乘积的特点，我们发现它们的底数是相同的，都是10，我们把它叫做同底数幂相乘。那同底数幂相乘有什么运算规律呢？同学们先观察式子$10^4×10^2$的意义是什么？这个式子中两个因式有何特点？然后请同学们先根据自己的理解解答下列问题。
生：$10^4×10^2$是同底数幂相乘，根据乘方的意义，$10^4$等于4个10相乘，$10^2$等于两个10相乘，一共是6个10相乘，把它记作$10^6$ 。$2^3×2^2$，$2^3$根据乘方的意义等于3个2相乘，$2^2$等于两个2相乘，一共是5个2相乘，把它记作$2^5$ 。当把数字变成字母，从特殊到一般时，$a^3×a^2$，根据乘方的意义，$a^3$表示3个a相乘，$a^2$表示两个a相乘，一共是5个a相乘，把它记作$a^5$ 。
师：很好。再请同学们探究刚才各题左右两边底数、指数有什么关系？我们看第一题，$10^4×10^2$，根据刚才的计算，它等于$10^6$ 。第2题，$2^3×2^2$，计算出来结果等于$2^5$ 。第3题，$a^3×a^2$，结果等于$a^5$ 。我们看等式的左边，第一题，等式左边的底数是10，等式右边的底数也是10，底数相同。第2题，等式的左边底数是2，等式右边的底数还是2，底数不变。第3题，等式的左边底数是a，等式的右边底数还是a。再看它的指数，第一题，等式左边两个幂的指数是4和2，等式右边的指数是6，我们发现$4 + 2 = 6$ 。第二题，等式左边两个幂的指数是3和2，等式右边幂的指数是5，我们发现$3 + 2 = 5$ 。第三题，等式左边指数是3和2，等式右边指数是5，我们发现$3 + 2 = 5$ 。然后请同学们试着表示我们刚才发现的规律。
生：刚才等式左边是两个同底数幂相乘，既然它们的底数相同，我们可以用同一个字母a表示。两个幂的指数不同，我们可以用不同的字母m和n表示。猜想规律是$a^m×a^n = a^{m + n}$，因为这里的m、n是表示a的个数，所以m、n都是正整数。
师：那我们的猜想正确吗？同学们能否用我们所学过的知识验证一下$a^m×a^n$呢？
生：根据乘方的意义，$a^m$表示m个a相乘，$a^n$表示n个a相乘。再根据乘法的结合律，它一共表示$m + n$个a相乘，由乘法的意义，它就表示$a^{m + n}$次方，即$a^m×a^n = a^{m + n}$，当m、n都是正整数时。
师：由此我们可以归纳出同底数幂乘法的公式，$a^m×a^n = a^{m + n}$，当m和n都是正整数时。那请同学们再尝试用文字概括这个结论。
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
师：这就是我们同底数幂乘法的性质，我们可以利用它进行计算。特别注意，这里的a既可以代表一个数，也可以代表一个字母，还可以代表一个式子。两个同底数幂乘法的性质我们已经得出了，想一想，当3个或3个以上的同底数幂相乘时，是否也具有这样的性质呢？怎样用公式表示呢？例2计算$a^m×a^n×a^p$，你能找出什么规律呢？
生：根据乘法的结合律，如果三个数相乘，可以把前两个数相乘，把它的结果与第三个数相乘。这里$a^m×a^n$，用同底数幂乘法的性质，底数不变是a，指数就等于两个幂的指数和$m + n$，所以它就等于$a^{m + n}$再乘以$a^p$，还是两个同底数幂相乘，底数a不变，指数等于两个幂的指数和，等于$a^{m + n + p}$ 。
师：灵活的同学立马想到另外一种方法，谁来说说？
生：可以把后两个数相乘，再把它的结果与第一个幂相乘。由乘法的结合律知道$a^n×a^p$，再用同底数幂乘法的性质，底数a不变，指数等于两个幂的指数和，等于$n + p$，它就等于$a^m×a^{n + p}$，还是同底数幂相乘，底数a不变，指数等于它们幂的指数和，等于$a^{m + n + p}$ 。所以三个同底数幂相乘仍然符合刚才推导出同底数幂乘法的性质，底数不变，指数相加。
师：这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况。$a^m×a^n×······×a^p = a^{m + n +······ + p}$，底数不变，最后结果的指数等于前面幂的指数和。当然这里的m、n、p都是正整数。根据刚才的学习，我们能否利用今天所学的知识计算下面各题呢？先看第一题，$x^2×x^5$ 。