师：同学们好，我们一起进行三角形小结与复习的学习。首先回顾本章知识要点和定理。
师：一、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：二、三角形分类。有两种分类方法，按边的相等关系分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为腰和底不等的等腰三角形以及等边三角形；按内角大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
师：三、三角形的高中线与角平分线。三角形的高线，是从三角形一个顶点向它所对的边所在直线引垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。三角形三条高或其延长线相交于一点，比如钝角三角形三条高的延长线交于一点，锐角三角形三条高交于三角形内部一点，直角三角形三条高交于直角顶点。中线，是连接三角形一个顶点和它所对边的中点所得的线段，叫做三角形这条边上的中线，三角形三条中线相交于三角形内一点，这一点叫三角形的重心，图2中的点O就是三角形的重心。角平分线，三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形三条内角平分线相交于三角形内一点O ，如图三、四。
师：四、三角形的内角和与外角。三角形内角和等于180度，外角和是360度；三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。
师：五、直角三角形的性质与判定。性质是直角三角形的两个锐角互余；判定是有两个角互余的三角形是直角三角形。
师：六、多边形。在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。各角相等且各边也相等的多边形叫做正多边形。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，n边形的对角线的条数为$\frac{1}{2}n(n - 3)$。多边形内角和，n边形的内角和等于$(n - 2)\times180$度（n是大于等于3的整数），n边形的外角和等于360度。正多边形每个内角的度数是$\frac{(n - 2)\times180}{n}$度，正多边形每个外角的度数是$\frac{360}{n}$度。这些公式同学们一定要牢记。接下来，我们通过5个专题和一些例题体会本章知识的综合应用。
师：先看专题一、三角形的三边关系。例：已知两条线段长分别为3厘米、8厘米，要拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
师：本题考察三角形三边关系定理，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得a大于$8 - 3$小于$8 + 3$，即a大于5小于11。又因为第三边长为奇数，所以第三边长为7厘米或9厘米。
师：同学们做一下训练。以线段3、4、x - 5为边组成三角形，那么x的取值范围是什么？
师：显然，$x - 5$大于$4 - 3$，$x - 5$小于$4 + 3$，可得到x大于6小于12。
师：例二，等腰三角形周长为16，其一边长为6，求另两边长。
师：由于题中没指明边长为6的边是底还是腰，所以分两种情况讨论。一、当6为底边长时，腰长为$(16 - 6)\div2 = 5$，这时另两边长分别为5、5；二、当6为腰长时，底边长为$16 - 6 - 6 = 4$，这时另两边长分别为6、4。
师：同学们注意，这两种情况能否构成三角形？因为$5 + 5$大于6，第二小题的$6 + 4$大于6，所以5、5、6或6、6、4都能构成三角形。所以另两边长为5、5或6、4。等腰三角形底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形，这里蕴含了分类讨论的数学思想和及时验证纠错的科学素养。请同学们完成下面的辩试题。已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为多少？同学们独立思考一下。
生：（思考中）
师：本题也分两种情况讨论。一，4为底边长，8为腰长，周长等于$4 + 8 + 8 = 22$；4为腰长，8为底边长，因为最短的两条边$4 + 4$等于第三条边8，这种情况不符合三角形三边关系定理，不能构成三角形。所以本题答案是22 ，你做对了吗？
师：我们来看专题二，三角形中的重要线段。如图，D是三角形ABC边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且三角形ABC面积为24，求三角形BEF的面积，同学们独立思考一下。
生：（思考中）
师：好，我们来看。因为点E是AD的中点，三角形ABC面积是24，三角形ABC面积可看成三角形ABD的面积加三角形ACD的面积。点E是AD的中点，所以三角形BDE的面积等于$\frac{1}{2}$三角形ABD的面积，三角形CDE的面积等于$\frac{1}{2}$三角形ACD的面积，那么三角形BDE的面积加三角形CDE的面积等于$\frac{1}{2}$三角形ABC的面积，即$\frac{1}{2}\times24 = 12$，所以三角形BCE的面积等于12。
师：又因为点F是CE的中点，所以三角形BEF的面积等于$\frac{1}{2}$三角形BCE的面积，即$\frac{1}{2}\times12 = 6$。