师：同学们，大家好！今天我们要学习初中数学人教版八年级上册第十五章 15.2.3 节整数指数幂第一课时。看到这个标题，大家似乎都很熟悉。没错，我们之前学过正整数指数幂的相关知识。在进入新课之前，我们先一起回忆正整数指数幂的内容。
正整数指数幂是指当 n 是正整数时，a 的 n 次方等于 n 个 a 相乘。除了定义，我们还学过其运算性质。下面通过一组习题来回顾这些性质。
第一题，a 的 3 次方乘以 a 的 4 次方等于多少？
生：等于 a 的 7 次方。
师：依据是什么？
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于 a 的 m + n 次方，m、n 是正整数。
第二题，x 的 4 次方括号的 3 次方等于多少？
生：等于 x 的 12 次方。
师：依据呢？
生：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 a 的 m 次方括号的 n 次方等于 a 的 m × n 次方，m、n 是正整数。
第三题，x 乘以 y 的括号的 3 次方等于多少？
生：等于 x 的 3 次方 y 的 3 次方。
师：依据是什么？
生：积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 a 乘 b 括号的 n 次方等于 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，n 为正整数。
第四题，a 的 4 次方除以 a 的 3 次方等于多少？
生：等于 a。
师：依据呢？
生：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方等于 a 的 m - n 次方，a 不等于 0，m、n 是正整数，且 m 大于 n。
第五题，a 分之 b 括号的 3 次方等于多少？
生：等于 b 的三次方分之 a 的三次方。
师：依据是什么？
生：分式的乘方，把分式的分子、分母分别乘方，即 a 分之 b 括号的 n 次方等于 b 的 n 次方分之 a 的 n 次方，b 不等于 0，n 是正整数。
第六题，x 的 4 次方除以 x 的 4 次方等于多少？
生：等于 1。
师：怎么得到的？
生：通过同底数幂相除法则，结果是 x 的 0 次方，再根据 0 指数幂的性质，a 不等于 0 时，a 的 0 次方等于 1，所以结果是 1。
师：好，这样我们就回忆了正整数指数幂的运算性质。同学们发现，在 a 的 m 次方中，指数 m 可以是正整数，也可以是 0。那大家思考一下，a 的 m 次方中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，负整数指数幂 a 的 m 次方表示什么呢？
带着这个疑问，我们进入新课探究。当 a 不等于 0 时，a 的 3 次方除以 a 的 5 次方等于多少？
思路一，写成分式结构约分，a 的 3 次方除以 a 的 5 次方等于 a 的 5 次方分之 a 的 3 次方，把分母 a 的 5 次方写成 a 的平方乘 a 的 3 次方，分子 a 的 3 次方不变，约去相同的 a 的 3 次方，得到 a 的平方分之一。
思路二，假设正整数指数幂运算性质中 m 大于 n 的条件去掉，用同底数幂相除法则，a 的 3 次方除以 a 的 5 次方等于 a 的 3 - 5 次方，即 a 的 - 2 次方。
通过不同思路得到两种结果，如果规定这两种结果相等，就能让同底数幂相除的运算性质适用范围更广，分式表示更简洁。于是规定负整数指数幂的定义：一般地，当 n 是正整数时，a 的负 n 次方等于 a 的 n 次方分之一，a 不等于 0，也就是说 a 的负 n 次方是 a 的 n 次方的倒数。
现在大家说说，当 m 分别是正整数、0、负整数时，a 的 m 次方各表示什么意思？
生：当 m 是正整数时，a 的 m 次方表示 m 个 a 相乘；当 m 是 0 时，a 的 m 次方表示 a 的 0 次幂；当 m 是负整数时，a 的 m 次方表示 a 的负整数指数幂。
师：好，下面做一组练习。
第一题，2 的 - 1 次方等于多少？
生：2 的 - 1 次方可以写成 2 的一次方分之一，等于 1 / 2。
第二题，5 的负二次方等于多少？
生：5 的负二次方可以写成 5 的二次方分之一，等于 1 / 25。
第三题，x 的负三次方等于多少？
生：x 的负三次方等于 x 的三次方分之一。
第四题，（ - 5）的负二次方等于多少？
生：（ - 5）的负二次方可以写成（ - 5）的二次方分之一，等于 1 / 25。
第五题，负的 5 的负二次方等于多少？
生：负的 5 的负二次方可以写成负的 5 的二次方分之一，等于负的 1 / 25。
师：大家发现这两道题结果不一样，原因是指数 - 2 的作用范围不同。第四题有括号， - 2 的作用范围能作用到负号；第五题没有括号， - 2 的作用范围作用不到负号。做第六题和第七题时也要考虑指数 - 4 的作用范围。第六题，（ - x）的 - 4 次方等于多少？
生：（ - x）的 - 4 次方等于（ - x）的 4 次方分之一，等于 x 的 4 次方分之一。
第七题，负的 x 的 - 4 次方等于多少？
生：负的 x 的 - 4 次方等于负的 x 的 4 次方分之一。
师：同学们，引入负整数指数幂和 0 指数幂后，正整数指数幂的其他几条运算性质能否推广到 m、n 是任意整数的情形呢？我们先从 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方等于 a 的 m + n 次方这条性质入手探究。
看第一道算式，a 的 3 次方乘以 a 的 - 5 次方，这道算式一个幂的指数为正整数，一个幂的指数为负整数。怎么计算？
生：通过负整数指数幂定义，写成 a 的三次方除以 a 的五次方，约分得到 a 的二次方分之一，也就是 a 的 - 2 次方，即 a 的 3 +（ - 5）次方。
师：所以 a 的 3 次方乘以 a 的 - 5 次方和 a 的 3 +（ - 5）次方是相等关系。
再看第二道算式，a 的 - 3 次方乘以 a 的 - 5 次方，这道算式两个幂的指数都是负整数，怎么算？
生：根据负整数指数幂定义，写成 a 的 3 次方分之一乘以 a 的 5 次方分之一，结果是 a 的 8 次方分之一，也就是 a 的 - 8 次方，等于 a 的 - 3 +（ - 5）次方。
师：所以 a 的 - 3 次方乘以 a 的 - 5 次方和 a 的 - 3 +（ - 5）次方相等。
接着看第三道算式，a 的 0 次方乘以 a 的 - 5 次方，前面幂的指数是 0 指数幂，后面幂的指数是负整数，怎么计算？
生：a 的 0 次方是 1，a 的 - 5 次方是 a 的 5 次方分之一，相乘化简后是 a 的 5 次方分之一，也就是 a 的 - 5 次方，等于 a 的 0 +（ - 5）次方。