师：同学们好，很高兴又和大家见面了。这节课我们继续学习 15.1.2 节分式的基本性质第二课时。我们先来回顾上节课内容。上节课我们认识了分式的基本性质，谁能用文字表述一下？
生：分式的分子、分母乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
师：非常好，这条性质用符号语言表述为：$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$（$a$、$b$、$c$是整式，且$c≠0$）。利用分式基本性质，我们能在不改变分式值的条件下对分式变形，还学习了分式的变号法则。现在老师提问，大家能对下列两个多项式进行因式分解吗？
生：能。
师：第一小题，$9m^2 - 1$怎么分解？
生：利用平方差公式，可分解为$(3m + 1)(3m - 1)$。
师：很好。第二小题，$5x^2 - 10x + 5$呢？
生：先提取公因数 5，再用完全平方公式，结果是$5(x - 1)^2$。
师：掌握这些知识后，本节课我们学习分式的约分和通分。先看分数的约分，小学我们学过，比如$\frac{8}{12}$，分子分母同时除以 4，约分为$\frac{2}{3}$；$\frac{15}{9}$，分子分母同时除以 3，约分为$\frac{5}{3}$。这里 4 和 3 是分子分母的最大公因数，约分就是分子、分母同时约去最大公因数的化简过程。类比分数的约分，分式该如何约分呢？我们看上节课的两个例题。通过分析这两个式子，第一个分式分子分母同时除以$x$，$x$就是分子分母的公共因式，最后得到$\frac{x^2}{y}$，这个结果分子分母不再有公因式；第二个式子，分子分母同时除以公共因式$3x$，得到$\frac{x + y}{2x}$，分子分母也不再有公共因式。在这个过程中，我们把分子、分母同时除去的公共因式叫公因式，分子和分母不含公因式的分式叫最简分式，这个过程就是分式的约分。谁能归纳一下约分的定义？
生：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这个过程就是分式的约分，约分后分子分母没有公因式的分式是最简分式。
师：非常棒。分数约分关键在找准分子分母的最大公因数，分式约分关键在于找准分子分母的公因式。像第一小题，分子分母都是单项式，我们从系数、字母以及字母的指数三方面确定公因式。先利用分式变号法则把分子符号提到分数线前面，比较分子分母系数和字母部分，公因式系数是 25 与 15 的最大公因数，字母部分是分子分母共同含有的字母$a$、$b$、$c$，公因式中相同字母取最低次幂，所以$5abc$就是分子分母的公因式。利用分式基本性质，分子分母同时除以公因式$5abc$，得到原式等于$-\frac{5ac^2}{3b}$，这就是约分结果，是最简分式。那遇到像第 2 小题和第 3 小题，分子分母都有多项式时，怎么进行分式约分呢？
生：先因式分解，再确定公因式。
师：对。第 2 小题，分子因式分解为$(x + 3)(x - 3)$，分母因式分解为$(x + 3)^2$，分子分母公因式是$x + 3$，约去公因式，结果是$\frac{x - 3}{x + 3}$，是最简分式。看第 3 小题，对分子分母因式分解，公因式是$3(x - y)$，约去公因式，结果展开是$2x - 2y$。通过这小题我们发现，分式约分结果不一定是最简分式，也可能是整式。我们来小结一下分式约分，约分依据是分式基本性质，关键找准分子分母公因式。分子分母是单项式时，公因式系数取分子分母系数最大公因数，字母取相同字母最低次幂；分子分母有多项式时，先因式分解再确定公因式，相同因式取最低次幂，约分结果要化成最简分式或整式。特别注意，约分过程公因式要找全，约分要彻底。下面我们看看分式的通分。小学我们学过分数通分，就是把异分母分数化为同分母分数的过程。比如计算$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$，先确定两个分母最小公倍数是 6，通过乘适当因数，把两个分数变成同分母分数$\frac{3}{6} + \frac{4}{6}$，进而进行加减运算。谁能说说什么是分数通分？
生：把异分母分数化为同分母分数的过程就是分数的通分。