师：同学们好，欢迎大家走进今天的数学课堂，本节课我们将共同学习初中数学人民教育出版社八年级上册第15章15.1.2节分式的基本性质第一课时。首先，我们一起来回顾一下上节课学习的内容。上节课中，我们学习了分式的定义，哪位同学能说出什么样的式子是分式？
生：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就是分式，$\frac{A}{B}$中A是分子，B是分母。
师：非常好。上节课我们还学习了分式有意义的条件。这节课，我们将一起学习分式的基本性质。同学们，你们知道分式有哪些性质吗？为了研究这个问题，我们先来看看分数的基本性质。通过小学阶段的学习，我们知道一个分数的分子、分母乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变，这就是分数的基本性质。这个性质用数学语言表述为：一般地，对于任意一个分数$\frac{a}{b}$，有$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$，其中a、b、c是数，特别要注意乘或除以的这个数c不等于0。类比分数的基本性质，同学们能大胆猜测一下分式有什么样的性质吗？
生：分式的分子、分母乘以或除以同一个不等于0的数，分式的值不变。
师：因为除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以我们可以把除法转变为乘法来做。因此，我们只需要验证分式的分子、分母乘以同一个不等于0的数，分式的值不变就可以了。怎么验证这个猜想呢？我们可以通过代入数字进行计算的方式来验证，还可以利用几何图形来进行研究。首先，我们画出一个小长方形，当小长方形的长为x，面积为y的时候，小长方形的宽是$y÷x$，即$\frac{y}{x}$。如果我们用两个同样大小的小长方形拼成一个大长方形，那么大长方形的宽应该如何计算呢？
生：用面积2y除以长2x，即$\frac{2y}{2x}$。
师：观察图形，我们可以发现小长方形的宽与大长方形的宽相等，这样我们就得到了等式$\frac{y}{x}=\frac{2y}{2x}$。观察等式的两边，我们会发现对分式的分子和分母同时乘以2，分式的值不变，因此验证了这个猜想的正确性。那么除了这条性质之外，分式还会具有其他哪些性质呢？在分式的分子和分母中同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值是否保持不变呢？带着这样的疑问，我们继续进行探究。
在上图的右侧继续添加小长方形。如果我们用m个大小相同的小长方形拼成一个大长方形，大长方形的宽应该是多少呢？
生：用它的面积my除以它的长mx，得到大长方形的宽为$\frac{my}{mx}$。
师：根据长方形的宽不变，我们得到等式$\frac{y}{x}=\frac{my}{mx}$。观察这个等式的两边，同学们能得出怎样的结论呢？
生：分式的分子分母乘以或除以同一个不等于0的单项式，分式的值不变。
师：继续利用图形进行研究。当我们将小长方形的个数再增加n个的时候，图形中就有了m + n个小长方形。此时应当怎样计算大长方形的宽呢？
生：用面积$(m + n)y$除以它的长$(m + n)x$。
师：由于长方形的宽没有变，我们可以得到等式$\frac{y}{x}=\frac{(m + n)y}{(m + n)x}$。这个等式是不是可以帮助我们验证分式的分子分母乘以或除以同一个不等于0的多项式，分式的值不变？综合以上探究，我们可以得到分式的基本性质：分式的分子、分母乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。这条性质用符号语言表述为$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$，这里a、b、c都是整式，且c不等于0。同学们要特别注意这个要求。下面我们一起利用分式的基本性质来解决一些具体问题。首先来看例1，例1要求大家完成几个填空。我们来看第一小题，观察等式的两边，我们发现左右两边的分母都已经给出了，因此我们可以看分母如何变化，想分子如何变化。不难发现，由xy化为y要除以x。为了保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也要除以x。所以分子分母同时除以x后，可以得到原式等于$\frac{x^{2}}{y}$，缺少的分子就是$x^{2}$。同样的道理，我们来看第二个等式。为了填出缺少的分母，我们要看分子如何变化，想分母如何变化。但是本题中两个分子都是多项式，不太容易看出变化的过程，所以我们要首先对于分子$3x^{2} + 3xy$进行因式分解，可得$3x(x + y)$。由这个分子化为$x + y$需要除以3x，所以分母也要除以3x。这样利用分式的基本性质，我们就可以得到原式等于$\frac{x + y}{2x}$，缺少的分母应该是2x。因此，利用分式的基本性质，我们可以在不改变分式值的条件下对分式进行变形。带着这样的解题经验，请同学们来看第二组等式。同样观察等式两边的分母，我们知道由ab化为$a^{2}b$要乘以a。根据分式的基本性质，我们在分子中也要乘以a，这样就可以得到要填的分子应该是a。下面我们来看第二个式子。观察等式两边的分母，为了保证分式的值不变，我们需要在分子和分母中同时乘以b，再将分子中的因式乘开，我们就得到要填的结果是$2ab - b^{2}$，大家填对了吗？结合这几个小题的求解，我们会发现要将分式进行变形而不改变分式的值，我们需要利用分式的基本性质对分式的分子与分母做相同的变化，并且乘或除以的因式要不等于0。下面我们再一起来看例2。
例2要求不改变分式的值，使分式的分子与分母中都不含有负号。怎样才能达到这个要求呢？我们可以结合分式的基本性质来思考。不难想到，对于第一小题，我们可以在分子与分母中同时乘以 - 1。原式等于$\frac{a}{b^{2}}$，这就满足了题目的要求，分子与分母中都不含有负号。所以第一小题的结果应等于$\frac{a}{b^{2}}$。那么对于第2小题，我们是不是可以用同样的方法来解决呢？此时如果在分子与分母中同时乘以 - 1，我们会发现分子中的负号没有了，但是分母中又产生了负号，没有达到题目的要求。那么这时应该如何解决呢？