师：同学们，大家好。今天这节课，我们一起来学习人教版八年级上册第十四章第一节整式乘法第五课时。在学习新课之前，我们先回顾一下前面所学的知识。
首先，如何进行单项式与多项式乘法的运算呢？可以分两步：第一步，将单项式分别乘以多项式的各项；第二步，再把所得的积相加。
接着，在进行单项式与多项式乘法运算时，要注意哪些问题呢？同样有两点：第一，不能漏乘，也就是说要将单项式乘遍多项式的每一项；第二，在去括号时，要注意符号的确定。
既然回顾了单项式乘以多项式的运算，那我们一起来探究一下((a + b)×x)等于什么呢？((a + b)×x = ax + bx)。现在老师把(x)换成(m + n)，那么((a + b)×x)又等于什么呢？也就是把(x)用(m + n)替换掉，此时变成((a + b)×x = (a + b)×(m + n))，这就变成了多项式乘以多项式，这个式子该如何计算呢？我们共同来探究一下。
请看问题一：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原来长(a)米、宽(p)米的长方形绿地加长了(b)米，加宽了(q)米，能用几种方法求出扩大后的绿地面积呢？相信大家都有自己的方法，可能各不相同，我们一起来看看。
方法一：把它当做一个整体，长((a + b))米，宽((p + q))米的长方形，利用长方形面积公式计算，面积为((a + b)×(p + q))平方米。
方法二：把花园看成由四个小块组成，它们的面积分别为(ap)平方米、(aq)平方米、(bp)平方米、(bq)平方米，所以绿地面积为这四个小块面积的和，即((ap + aq + bp + bq))平方米。
方法三：把花园看成由前两块和后两块组成，前两块可看成是长(a)米，宽((p + q))米；后两块可看成宽(b)米，长为((p + q))米，此时它的面积为(a×(p + q) + b×(p + q))平方米。
方法四：把花园看成由上两块和下两块组成，上面可看成是长为((a + b))米、宽为(p)米的长方形，下面两块可看成是长为((a + b))米、宽为(q)米的长方形，此时这块绿地的面积为(p×(a + b) + q×(a + b))平方米。
我们用四种方法表示出了这块绿地的面积，这四个式子表示的是同一块绿地的面积，所以可以得到以下等式：
((a + b)×(p + q) = a×(p + q) + b×(p + q) = ap + aq + bp + bq)
或者((a + b)×(p + q) = p×(a + b) + q×(a + b) = ap + aq + bp + bq)
也就是((a + b)×(p + q) = ap + aq + bp + bq)。这些式子是从面积的角度得到的，下面能不能从代数运算的角度解释等式的合理性呢？我们发现等式左边是多项式乘以多项式，右边是几个式子的和的形式，这个式子是不是给了我们多项式与多项式相乘的方法呢？我们再来详细看一下((a + b)×(p + q))，((a + b)×(p + q) = a×(p + q) + b×(p + q))，这里相当于把((p + q))看成一个整体，将多项式乘以多项式变成了单项式乘以多项式，再利用单项式乘以多项式的运算法则展开，就等于(ap + aq + bp + bq)，这样就变成了单项式乘以单项式。
通过这个式子的展开，大家能不能归纳一下多项式乘以多项式的法则呢？我们来总结一下：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示为((a + b)×(p + q) = ap + aq + bp + bq)。
老师再问一个问题，如果把这里的((a + b))换成((a + b + c))，来进行一下拓展，大家会吗？拓展((a + b + c)×(m + n))，它仍然符合多项式与多项式相乘，利用上述运算法则，用其中一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，就可以得到(am + an + bm + bn + cm + cn)。
通过总结以及拓展，老师想问，相乘以后，在未合并同类项之前所得到积的项数与前面两个多项式的项数之间有什么关系呢？它是否等于两个多项式项数的乘积呢？我们来看，((a + b)×(p + q))是两项乘以两项，得到(ap + aq + bp + bq)是(4)项；再看拓展((a + b + c)×(m + n))，是三项乘以两项，得到(am + an + bm + bn + cm + cn)共(6)项，(3×2 = 6)，也就是说这个问题的回答是正确的。
既然已经总结出多项式与多项式相乘的法则以及拓展，那我们来练练手吧。
计算：
((3x + 1)×(x + 2))
((x - 8y)×(x - y))
((x + y)×(x2 - xy + y2))
大家可以按下暂停键自己思考。做好了吗？我们来看这三个小题。
解：
((3x + 1)×(x + 2))
根据多项式乘以多项式的法则，将一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，即(3x×x + 3x×2 + 1×x + 1×2)，再把所得的积相加，要注意符号问题，化简得(3x2 + 6x + x + 2)，这里(6x)与(x)是同类项，一定要合并同类项，得到(3x2 + 7x + 2)。所以结果中有同类项的，一定要合并同类项。