师：同学们好，今天我们一起学习等腰三角形第四课时。本节课学习目标有两个：一是探索含30度角的直角三角形的性质；二是会运用该性质进行有关的证明和计算。前面我们已学了等边三角形的性质和判定，今天在此基础上，通过动手实践探索新知识。
大家看，将两个相同的含30度角的三角尺摆放在一起，观察这个图形，思考三角形ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系。不难发现，这两个直角三角形拼成了一个等边三角形，AB是等边三角形的边长，而BC是等边三角形边长的一半，所以AB是BC的2倍。下面看证明过程：
因为三角形ADC是三角形ABC的轴对称图形，所以AB = AD，∠BAD = 2∠BAC = 60°。根据含60度的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABD是等边三角形。又因为AC垂直于BD，由等腰三角形三线合一，可知AC是三角形ABD中BD边上的中线，所以BC = CD = 1/2 AB。由此我们猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。那还能用其他方法证明吗？大家思考一下。
如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，求证BC = 1/2 AB。从刚才的动手实践得到提示，能否通过添加辅助线构造等边三角形来证明呢？因为∠A = 30°，所以∠B = 60°，我们可利用含60度角的等腰三角形是等边三角形这一性质，延长BC至D，使BD = AB，连接AD。这种做辅助线的方法叫倍长法。因为∠B = 60°，AB = BD，所以三角形ABD是等边三角形。又因为AC垂直于BD，所以BC = 1/2 BD。下面看详细证明过程：延长BC至D，使BD = AB，连接AD。
在三角形ABC中，因为∠ACB = 90°，∠BAC = 30°（直角三角形两锐角互余），所以∠B = 60°，则三角形ABD是等边三角形。又因为AC垂直于BD，所以BC = 1/2 BD = 1/2 AB。
我们刚才是通过∠B = 60°，延长BC至D，作BD = AB，利用含60度角的等腰三角形是等边三角形证明了猜想。那能否在三角形ABC内构造等边三角形呢？我们在AB上截取BE = BC，因为∠B = 60°，所以三角形BEC是等边三角形。由等边三角形每个角都是60度，可得∠BEC = 60°。已知∠A = 30°，根据三角形外角性质，可得∠ACE = ∠BEC - ∠A = 30°，由等角对等边，所以EC = AE。又因为三角形BEC是等边三角形，所以BC = BE，则AB = BE + AE = 2BC，从而得到在直角三角形ABC中，斜边AB等于BC的2倍。下面理顺证明步骤，这种做辅助线的方法叫截半法：在BA上截取BE = BC，连接EC，因为∠B = 60°，BE = BC，所以三角形BCE是等边三角形，BE = EC，∠BEC = 60°。而∠A = 30°，所以∠ECA = ∠BEC - ∠A = 60° - 30° = 30°，所以AE = EC，所以AE = BE = BC，则AB = AE + BE = 2BC，所以BC = 1/2 AB。
由此得到今天所学的含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。用数学语言表示：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 1/2 AB。
下面通过几个判断题来理解该性质。判断下列说法是否正确：
直角三角形中30度角所对的直角边等于另一直角边的一半。我们所学性质是30度角所对直角边是斜边的一半，所以该结论错误。
三角形中30度角所对的边等于最长边的一半。缺少“直角三角形”这一前提条件，所以错误。
在直角三角形中，较短的直角边是斜边的一半。缺少“30度角”这一条件，所以错误。
直角三角形的斜边是30度角所对直角边的2倍。正确。
下面通过典型例题体会该性质在生活中的应用。如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB = 7.4米，∠A = 30°，求立柱BC、DE的长度。大家思考，图中BC、DE分别是哪个标有字母的直角三角形的直角边呢？不难看出，BC是直角三角形ABC的直角边，DE是直角三角形ADE的直角边，它们所对的锐角都是∠A，为30度。那么本题边与边的计算就可应用含30度角的直角三角形的性质来解。因为AB = 7.4米，所以30度角所对的直角边BC等于斜边AB的一半，从而可求得BC。又因为点D是AB的中点，所以AD等于AB的一半。在直角三角形ADE中，30度角所对的直角边DE等于斜边AD的一半，从而可求出DE。看解答过程：因为DE垂直于AC，BC垂直于AC，∠A = 30°，所以BC = 1/2 AB，DE = 1/2 AD。所以BC = 1/2 × 7.4 = 3.7米。又因为D点是AB中点，AD = 1/2 AB，所以DE = 1/2 AD = 1/2 × 3.7 = 1.85米。所以立柱BC长3.7米，DE长1.85米。
下面看一道变式训练。如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，CD是斜边AB上的高，AD = 3厘米，求AB的长度。A. 3厘米；B. 6厘米；C. 9厘米；D. 12厘米。大家思考，图中有几个含30度角的直角三角形，分别是哪些呢？由已知条件可知，∠B = 30°，∠ACB = 90°，所以在直角三角形ABC中∠B = 30°，在直角三角形CDB中∠B = 30°。因为∠BCD与∠B互余，它与∠ACD也互余，根据同角的余角相等，可得∠ACD = 30°。所以图中有三个含30度角的直角三角形，分别是直角三角形ABC、直角三角形ADC和直角三角形BCD。
再思考，AD和AB分别在哪两个直角三角形中呢？不难看出，AD在直角三角形ACD中是较短的直角边，AB是直角三角形ACB的斜边。这两个三角形的公共边是哪一条呢？是AC。所以有三个含30度角的直角三角形，已知AD = 3厘米，根据30度角的直角三角形的性质，可得AC = 2AD = 6厘米。又因为在直角三角形ABC中∠B = 30°，所以斜边AB = 2AC = 12厘米。
看计算过程：在直角三角形ABC中，因为CD是斜边AB上的高，所以∠ADC = 90°，所以∠ACD = ∠B = 30°。在直角三角形ACD中，AC = 2AD = 6厘米。在直角三角形ABC中，AB = 2AC = 12厘米，所以AB的长度是12厘米，故选D。注意运用含30度角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形。