师：同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们要学习初中数学人教版八年级上册第十三章轴对称 13.3 等腰三角形的第五课时——实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系。前面我们已经学习了等腰三角形的有关知识，大家一起来回顾一下。等腰三角形具有什么性质？
生：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简写成“三线合一”。
师：如何判定一个三角形是等腰三角形？
生：定义法，有两条边相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。
师：学习了等腰三角形，我们知道在三角形中相等的边所对的角相等，反过来相等的角所对的边也相等。那么在三角形中，不相等的边所对的角之间有怎样的大小关系呢？大边所对的角也大吗？不相等的角所对的边之间大小关系又怎样呢？是不是大角所对的边也大呢？这就是我们今天将要探究的问题，下面我们一起来探究。
实验与探究：
师：一、如图，在三角形 ABC 中，如果 AB 大于 AC，角 C 与角 B 大小关系怎样？请同学们动手制作一张三角形纸片，要求制作的三角形中 AB 大于 AC。观察你制作的三角形纸片，猜想角 C 与角 B 大小关系如何？
生：观察图形发现角 C 大于角 B。
师：同学们能验证吗？我们可以利用量角器测量出角 C 和角 B 的大小，也可以利用刚刚制作的三角形纸片进行折纸验证。同学们请折一折，试一试，也可以像黑板上老师这样来折纸。
师：由刚才的观察和操作，你能得到什么猜想呢？
生：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。
师：你能证明这个猜想吗？请同学们思考一下。已知如图，在三角形 ABC 中，AB 大于 AC。求证角 C 大于角 B。同学们想一想，证明角的不等关系的依据是什么？前面我们学习过三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，那如何将角 C 转化为角 B 所在的三角形的外角呢？由刚才的折纸我们发现可以将三角形折叠，将 AC 折叠到边 AB 上，点 C 落在 AB 边上的点 D 处，折痕 AE 交 BC 于点 E。由折叠可知，角 ADE 等于角 C，而角 ADE 是三角形 BDE 的外角，所以角 ADE 大于角 B，从而得到角 C 大于角 B。请同学们根据刚才的分析写出证明过程。
师：下面我们一起来看一下具体的证明过程，看看和你写的是不是一样的。证明：作角 BAC 的平分线 AE，在 AB 边上取点 D，使 AD 等于 AC，连接 DE。在三角形 ADE 和三角形 ACE 中，因为 AD 等于 AC，角 BAE 等于角 CAE，AE 等于 AE，所以三角形 ADE 全等于三角形 ACE（全等的依据是“边角边”），所以角 ADE 等于角 C（依据是全等三角形的对应角相等）。因为角 ADE 大于角 B（根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角），所以角 C 大于角 B。由这个证明过程，我们发现可以利用折叠和轴对称的性质，将研究三角形中边与角之间的不等问题转化为一个角是另一个角所在三角形的外角的问题。这种转化的思想是我们几何中常用的方法之一，你是否还有不同的方法来证明这个结论呢？刚才的证明过程，我们是将较短边 AC 通过折叠到较长边 AB 上，那能否反过来将较长边 AB 折叠到较短边 AC 所在的直线上呢？我们来折一折，试一试。将 AB 沿着角 BAC 的平分线 AE 折叠，使得点 B 落在 AC 的延长线上点 D 处，折痕 AE 交 BC 于点 E，连接 DE。由折叠可知角 B 等于角 D，而角 ACB 是三角形 CDE 的外角，ACB 大于角 D，从而得到角 ACB 大于角 B。根据刚才的分析，你能写出证明过程吗？同学们，写一写试一试。
师：下面我们一起来看一下具体的证明过程，看看和你写的是不是一样的证法。作角 BAC 的平分线 AE，延长 AC 到点 D，使 AD 等于 AB，连接 DE。在三角形 ABE 和三角形 ADE 中，因为 AB 等于 AD，角 BAE 等于角 DAE，AE 等于 AE，所以三角形 ABE 全等于三角形 ADE（全等的依据还是“边角边”），所以角 B 等于角 D。因为角 ACB 大于角 D（还是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角），所以角 ACB 大于角 B。那这样我们也证明了这个猜想，那是否还有其他的方法呢？同学们请想一想，你想出来了没有？来我们一起来看一下老师是如何证明的。
师：证法三，在 AB 上截取 AD，使 AD 等于 AC，连接 DC。因为 AD 等于 AC，所以角 1 等于角 2（这是根据“等边对等角”），因为角 ACB 大于角 1，所以角 ACB 大于角 2，因为角 2 大于角 B，所以角 ACB 大于角 B。这里老师是通过在较长边 AB 上截取线段 AD 等于 AC 得到等腰三角形 ADC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的知识，从而来证明出角 C 大于角 B。想一想，本题还可以延长短边来证明吗？我们一起来试一试吧。
师：延长 AC 到点 D，使 AD 等于 AB，连接 DB。因为 AB 等于 AD，所以角 ABD 等于角 D。因为角 ABD 大于角 2，所以角 D 大于角 2。而角 1 是三角形 BCD 的外角，角 1 大于角 D，而刚才又证明了角 D 大于角 2，所以角 1 大于角 2。那这样我们通过不同的方法，最终将研究三角形中边与角之间的不等问题转化为边与角之间的相等问题，从而证明了之前的猜想是正确的。
师：经过刚才的观察、操作、验证、证明等一系列活动，我们可以形成结论：一、在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对角较大，简写成“大边对大角”。应用结论时要注意应用格式，如图，因为在三角形 ABC 中 AB 大于 AC，所以角 C 大于角 B（大边对大角）。由前面的探究我们发现，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。那么反过来，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边之间又有怎样的大小关系呢？下面我们继续来探究实验与探究。
师：如图，在三角形 ABC 中，如果角 C 大于角 B，边 AB 与 AC 大小关系怎样？AB 大于 AC 吗？我们观察图形可以发现 AB 大于 AC，也可以像实验与探究一样，我们可以进行测量或者折纸验证。那又该如何来证明呢？要想证明 AB 大于 AC，证明线段的不等关系的依据是什么呢？前面我们学习过三角形的任意两边之和大于第三边，那么如何将 AB 转化为两条线段的和，并且与线段 AC 正好围成一个三角形呢？由刚才的折纸我们发现可以将三角形折叠。将三角形 ABC 沿着 BC 的垂直平分线 DE 折叠，使得点 B 落在点 C 处。由折叠可知角 B 等于角 DCB，所以 DB 等于 DC。而在三角形 ADC 中，我们根据两边之和大于第三边有 AD 加 DC 大于 AC，所以 AD 加 DB 也大于 AC，也就是 AB 大于 AC。根据刚才老师的分析，你能写出证明过程吗？同学们，写一写，试一试。