师：同学们好，从这节课开始，我们进入第十三章第三小节等腰三角形的学习。大家看一组图片，这里面都出现了我们熟悉的等腰三角形。那什么是等腰三角形呢？等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形。如图，在三角形ABC中，如果AB等于AC，那么三角形ABC就是等腰三角形。
等腰三角形还有一些相关概念，像腰、底边、顶角、底角。等腰三角形中相等的两边叫腰，图中的AB和AC就是等腰三角形ABC的腰；另外一条边BC叫底边；两腰的夹角叫顶角，图中的∠BAC就是顶角；腰和底边的夹角叫底角，图中的∠ABC和∠ACB都是底角。
下面，我们一起来动手做一做、剪一剪。把一张长方形纸片对折，剪去其中的蓝色部分，再将其展开，这时我们就得到一个三角形ABC。大家看，这个三角形ABC有什么特点？
生：AB等于AC。
师：对，也就是这个三角形ABC是等腰三角形。我们再把得到的等腰三角形折一折，三角形ABC是轴对称图形吗？它的对称轴又是什么呢？
生：沿着折痕折叠三角形，折痕两边部分能完全重合，所以三角形ABC是轴对称图形，对称轴就是折痕所在直线。
师：非常好。再将得到的等腰三角形折叠一下，大家能不能找出其中重合的线段和角？
生：重合的线段有AB和AC、BD和CD，还有AD与AD；重合的角有∠B和∠C、∠BAD和∠CAD、∠ADB和∠ADC，并且∠ADB与∠ADC相加等于180度，这两个角都是直角。
师：没错，重合的线段相等，重合的角也相等。从这些重合的线段和角中，大家能发现等腰三角形的性质吗？老师给个提示，这6对元素当中，AB和AC是已知的，AD和AD是公共边。除了这两个元素，还有四组元素重合且相等。∠B和∠C相等，这是等腰三角形的两个底角相等。其余三组元素有什么特点呢？BD与CD、∠BAD和∠CAD、∠ADB和∠ADC，对了，它们都与折痕AD有关。也就是说折痕AD身兼数职，这个AD既是中线，也是角平分线，还是高。下面我们一起证明一下刚才的猜想。
首先证明第一个猜想：证明∠B等于∠C。从刚才的折叠问题中能得到什么启发呢？我们可以做中线AD，将三角形ABC分成两个小三角形，再通过证明三角形ABD和三角形ACD全等，这就是解题思路。
当我们做AD是中线时，就有BD等于CD。同学们，这两个三角形全等吗？全等的三要素是什么？全等的理由又是什么呢？
生：有AB等于AC，BD等于CD，再加上公共边AD等于AD，所以这两个三角形根据SSS（边边边）全等，从而证明∠B等于∠C。
师：非常棒。下面我们一起来看看证明过程：做底边的中线AD，则BD等于CD。在三角形BAD和三角形CAD中，因为AB等于AC，BD等于CD，AD等于AD，所以三角形BAD≌三角形CAD（SSS），所以∠B等于∠C（全等三角形的对应角相等）。那这题还有其他证明方法吗？我们这里做的是中线AD，如果不做中线AD，还能做什么呢？
生：做角平分线，∠BAD等于∠CAD。
师：对，那这两个三角形全等吗？全等的理由是什么呢？
生：有AB等于AC，∠BAD等于∠CAD，AD是公共边，能证明三角形BAD≌三角形CAD，理由是SAS（边角边）。
师：很好，我们看看证明过程怎么写：做顶角∠BAC的平分线AD，则∠BAD等于∠CAD。在三角形BAD和三角形CAD中，AB等于AC，∠BAD等于∠CAD，AD等于AD，所以三角形BAD≌三角形CAD（SAS），所以∠B等于∠C（全等三角形的对应角相等）。
还有其他方法吗？如果做的AD还可以是什么呢？
生：AD是高。
师：对，做高AD时，三角形BAD和三角形CAD都是什么三角形？这两个三角形全等吗？
生：都是直角三角形。这两个直角三角形根据AB等于AC（斜边），公共边AD（直角边），可以根据HL（斜边、直角边）定理证明三角形BAD与三角形CAD全等，从而证明∠B等于∠C。
师：非常好，我们来看证明过程：做底边上的高AD，则三角形BAD和三角形CAD都是直角三角形。在Rt三角形BAD和Rt三角形CAD中，因为AB等于AC，AD等于AD，所以Rt三角形BAD≌Rt三角形CAD（HL），所以∠B等于∠C（全等三角形的对应角相等）。这样我们就用三种方法证明出∠B等于∠C。
同学们，∠B和∠C是这个等腰三角形的两个什么角？
生：底角。
师：所以我们得出等腰三角形一个很重要的性质：等腰三角形的两个底角相等。我们来分析一下这句话，它的条件和结论分别是什么？
生：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。如果三角形ABC是等腰三角形，即AB等于AC，那么结论就是它的两个底角相等，∠B等于∠C。
师：对，所以这句话可以简写成“等边对等角”。它的几何语言表示就是在三角形ABC中，有AB等于AC，则∠B等于∠C，理由是“等边对等角”，说“等腰三角形的两个底角相等”也可以。这里要注意，AB、AC这两边相等，∠B、∠C这两个角相等，这四个元素必须在同一个三角形中。
在前面三种方法中做出来的AD分别是等腰三角形的什么线段呢？这三种方法都证明了三角形BAD≌三角形CAD，AD还有什么特点呢？题目已知，如图，在三角形ABC中，AB等于AC，求证∠B等于∠C。
第一种方法做的是底边上的中线AD，回忆一下，做出中线AD时，根据SSS证明三角形BAD≌三角形CAD后，AD还有什么特点？
生：全等后可得∠BAD等于∠CAD，∠ADB等于∠ADC。因为∠BAD等于∠CAD，所以AD是三角形ABC的角平分线；又因为∠ADB等于∠ADC，且∠ADB + ∠ADC = 180度，所以∠ADB和∠ADC都是90度，AD也是BC边上的高。