师：各位同学，大家好。这节课我们继续学习与三角形有关的角。上节课我们学习了三角形内角和定理，哪位同学能回顾一下它的内容？
生：三角形的三个内角和等于180度。在三角形ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180度。
师：非常好。带着这个定理，我们来看下面的问题。如下图，这是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和为多少度呢？先看左边这个含30度角的直角三角形，一个锐角是30度，另一个锐角是60度，所以两锐角的和为多少？
生：90度。
师：没错。再看右边这个等腰直角三角形，两个锐角都是45度，两锐角的和是多少？
生：也是90度。
师：因为这两块三角板是特殊的直角三角形，锐角度数已知，所以能很快求出两锐角和为90度。那如果不是特殊的直角三角形，还能求出两锐角的度数和吗？看第二个问题，这是一个普通的直角三角形ABC，∠C = 90度，能求出∠A、∠B各自的度数吗？
生：不能。
师：那能求出∠A和∠B的度数和吗？
生：可以，90度。
师：为什么呢？
生：在直角三角形ABC中，∠C = 90度，根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180度，已知∠C = 90度，所以∠A + ∠B + 90度 = 180度，就能得到∠A + ∠B = 90度。
师：非常棒。也就是说，普通直角三角形根据三角形内角和定理，可求出另外两个锐角的度数和为90度。由这个结果能得出什么结论呢？这就是我们这节课要学习的第一个内容。根据这个结果，我们可以得出直角三角形的一条性质：直角三角形的两个锐角互余。先来看直角三角形的符号表示方法，直角三角形可以用Rt△表示，那么直角三角形ABC就可以写成Rt△ABC。由此，我们得到直角三角形两个锐角互余的几何推理格式：在Rt△ABC中，∠C = 90度，那么直接得到∠A + ∠B = 90度。得到了这个性质，接下来看看它具体怎么运用。看例一，如图，∠C = ∠D = 90度，AD、BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？大家先观察一下图形。
生：（观察图形）
师：会发现问题中的∠CAE和∠DBE都分别在一个直角三角形中。先看∠CAE，它在Rt△ACE中，根据直角三角形两个锐角互余的性质，可知∠CAE和∠AEC互余，那么∠CAE可以写成什么？
生：∠CAE = 90度 - ∠AEC。
师：同理，∠DBE在Rt△BDE中，∠DBE可以写成什么？
生：∠DBE = 90度 - ∠BED。
师：再观察图形，∠AEC和∠BED是什么关系？
生：对顶角，这两个角相等。
师：根据等角的余角相等这一性质，能得到什么？
生：∠CAE = ∠DBE。
师：注意，本题要先回答再说明理由。在这道题目中，我们运用了直角三角形的性质、对顶角相等的性质以及等角的余角相等的性质来完成证明。下面我们继续练习。看练习一，如图，在△ABC中，已知∠ACB = 67度，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB = 45度。求∠ABE的度数，大家可以按下暂停键思考一下。
生：（思考）
师：好，我们来分析题目。题目中有BE是AC上的高，CD是AB上的高这样的条件，所以会出现直角三角形，这里有Rt△BCD和Rt△BCE，就可以考虑使用直角三角形两个锐角互余这一性质。先看Rt△BCD，在这个直角三角形中，根据直角三角形两个锐角互余，可以得到什么？
生：∠DBC = 90度 - ∠DCB。
师：已知∠DCB = 45度，那么∠DBC等于多少？
生：∠DBC = 90度 - 45度 = 45度。
师：同理，在Rt△BCE中，∠EBC等于多少？
生：∠EBC = 90度 - ∠ACB，已知∠ACB = 67度，所以∠EBC = 90度 - 67度 = 23度。
师：再观察图形，要求的∠ABE怎么得到？
生：∠ABE = ∠ABC - ∠EBC，等于45度 - 23度 = 22度。
师：最后看练习二。如图，∠ACB = 90度，CD⊥AB，垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
生：∠ACD和∠B相等。
师：我们一起来看。根据已知条件CD⊥AB，所以∠CDA = ∠CDB = 90度。根据直角三角形的定义，得到什么？
生：△ACD和△BCD都是直角三角形。
师：选择其中的△ACD来看，现在知道△ACD为直角三角形，根据直角三角形的性质，∠ACD可以写成什么？
生：∠ACD = 90度 - ∠A。
师：又因为已知∠ACB = 90度，所以∠B等于什么？
生：∠B = 90度 - ∠A。
师：根据同角的余角相等，得到什么？
生：∠ACD = ∠B。
师：证明方法是找到这两个角所在的直角三角形，然后根据直角三角形两个锐角互余以及同角的余角相等这两条性质证出。大家开动脑筋想一想，还有没有别的证明方法？刚才我们是从△ACD入手证明的，现在可不可以从△BCD来试试看呢？
生：（思考尝试）
师：我们一起来证一下。△BCD也是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，可以得到什么？
生：∠B和∠BCD互余。
师：又根据已知条件∠ACB = 90度，所以∠ACD + ∠BCD等于多少？
生：90度。
师：我们发现∠ACD和∠B都和∠DCB互余，从而又证出了什么？
生：∠ACD = ∠B。
师：比较一下，这两种方法运用的都是同角的余角相等这一性质。不同的是，第一种方法中，∠ACD和∠B都是和∠A互余；第二种方法中，∠ACD和∠B都是和∠DCB互余。所以几何证明方法有时候并不是唯一的。
不知道同学们有没有注意，在这道练习2中，我们提到了直角三角形的定义，什么叫做直角三角形？