师：同学们，大家好。今天我们一起来学习第四章图形的相似，第四节探索三角形相似的条件，第四课时。首先，我们明确一下本节课的学习目标：知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用。这既是本节课的重点，也是难点。
接下来，我们欣赏几组美丽的图片。它们之所以漂亮、让人赏心悦目，是因为蕴含着数学中一个很重要的知识点——黄金分割。
那什么是黄金分割呢？如图，点(C)把线段(AB)分成两条线段(AC)和(BC)。如果(\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC})，那么称线段(AB)被点(C)黄金分割，点(C)叫做线段(AB)的黄金分割点，(AC)与(AB)的比叫做黄金比。黄金比到底是多少呢？由(\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC})这个比例式可得(AC^{2}=BC\times AB)。我们假设(AB)总长度是(1)，(AC = x)，则(BC = 1 - x)。那么上面的比例式就可替换成(\frac{x}{1}=\frac{1 - x}{x})，交叉相乘整理得(x^{2}+x - 1 = 0)。
下面解这个一元二次方程，解得(x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})，(x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2})。我们观察这里的(x_{2})，分子是负数，再除以(2)仍然是负数，而(x)表示线段(AC)的长，不可能为负数，所以(x_{2})这个根不合题意，应舍去。所以我们要找的黄金比，即(AC)与(AB)的比，也就等于(BC)与(AC)的比，等于(\frac{x}{1})，也就是(\frac{\sqrt{5}-1}{2})，这个叫做黄金比。(\frac{\sqrt{5}-1}{2})约等于(0.618)，这个(0.618)只是黄金比的一个近似值。
为方便同学们记忆，我们可以把黄金分割的线段简记为：长比总等于短比长都等于(\frac{\sqrt{5}-1}{2})，所以长可以写成总线段乘上(\frac{\sqrt{5}-1}{2})。如果点(C)比较靠近线段(AB)的点(B)，若满足(\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC})，这时候点(C)也叫(AB)的黄金分割点。通过观察我们发现，一条线段(AB)有两个黄金分割点。
那如何找出一个线段上的黄金分割点呢？小明同学这样做：已知线段(AB)，按照如下方法作图。一、经过点(B)作(BD)垂直于(AB)，使(BD=\frac{1}{2}AB)；二、连接(AD)，在(AD)上截取(DE = DB)；三、在(AB)上截取(AC = AE)。思考：点(C)是线段(AB)的黄金分割点吗？
解：设(AB = 2)，(BD=\frac{1}{2}AB = 1)，(DE = BD = 1)。由勾股定理得(AD=\sqrt{5})，则截取的(AC = AE=\sqrt{5}-1)。所以(\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})，所以点(C)就是线段(AB)的黄金分割点。从这个题目中我们可以观察到，判定一个点是线段的黄金分割点，可通过长线段比上总线段等于(\frac{\sqrt{5}-1}{2})这个数值来判定。同学们，你能利用手中的工具找出五角星中的黄金分割点吗？
通过测量计算，(\frac{AC}{AD})约等于(0.618)，所以点(C)为线段(AD)的黄金分割点。同学们，我们通过计算还能观察到点(D)、(F)、(H)，也是各个线段的黄金分割点。其实在古希腊时期，帕特农神庙在建筑的时候就用到了黄金分割比。如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形(ABCD)，以矩形(ABCD)的宽为边，在其内部作正方形(AEFD)，那么我们可以惊奇地发现(\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB})。点(E)是(AB)的黄金分割点吗？矩形(ABCD)的宽与长的比是黄金比吗？
由线段(\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB})，根据矩形的性质和正方形的性质，(BC = EF = AE)，所以我们可以把比例式中的(BC)替换成(AE)，得到比例式(\frac{BE}{AE}=\frac{AE}{AB})，再换成我们习惯的书写方式(\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE})。这时候我们观察，满足比例式长比总等于短比长，所以我们说点(E)是(AB)的黄金分割点，(\frac{AE}{AB})，即(\frac{BC}{AB})是黄金比，矩形(ABCD)的宽与长的比是黄金比。那么宽与长的比等于黄金比的矩形，也称为黄金矩形。通过这个例子，我们也可以得到一种证明一个点是黄金分割点的办法，即满足比例式长比总等于短比长，就可以证明此点为这个线段的黄金分割点。所以，我们证明一个线段上的黄金分割点可以有两种方法：第一种方法是证明长比总等于黄金比(\frac{\sqrt{5}-1}{2})；第二种方法是证明能得到一组比例式长比总等于短比长，也能证明此点为线段的黄金分割点。