师：同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。很高兴和大家一起学习北师大版九年级上册第六章第二节《反比例函数的图像与性质》的第一课时内容。八年级时，我们已经学习了一次函数，研究了它的定义、图像性质及应用。今天，我们将用类比的方法，在学习反比例函数定义的基础上，继续研究反比例函数的图像与性质。
首先，我们来回顾上一节课的内容——反比例函数的定义。一般地，形如(y=\frac{k}{x})（(k)为常数且(k\neq0)）的函数叫做反比例函数。那么，反比例函数的定义中需要注意什么呢？需要注意两点：一是(k)是非零常数；二是自变量(x\neq0)。反比例函数有三种表达形式，分别是(y=\frac{k}{x})、(x\cdot y = k)、(y = kx^{-1})。
根据函数的研究过程，这节课我们就来研究反比例函数的图像与性质。我们先来回忆正比例函数(y = kx)的图像与性质。正比例函数的图像是一条过原点的直线。当(k\gt0)时，图像位于一、三象限，(y)随(x)的增大而增大；当(k\lt0)时，图像位于二、四象限，(y)随(x)的增大而减小。
那么，反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像会是什么样的呢？它又有哪些性质呢？我们先从一个具体的反比例函数(y = \frac{4}{x})来研究。我们先来思考几个问题：
第一个问题，这个函数的自变量(x)的取值范围是什么？因为(x)在分母上，所以(x)为不等于(0)的实数。
第二个问题，你们猜想这个函数图像是否经过原点，与(x)轴、(y)轴会有交点吗？为什么？因为自变量(x\neq0)，所以猜测图像不经过原点，也不与(y)轴相交。又因为(x\cdot y = 4)，所以(y)也不等于(0)，因此猜测它的图像与(x)轴也无交点。
第三个问题，你能想象一下(y = \frac{4}{x})的图像会分布在哪些象限吗？因为(x\cdot y = 4\gt0)，所以(x)、(y)同号。因此猜测函数(y = \frac{4}{x})的图像分布在第一、三象限。
下面我们就来动手画一画反比例函数(y = \frac{4}{x})的图像，从而验证与我们的猜想是否一致。现在请你们回顾画一次函数图像的步骤是什么？共分为三步：列表、描点、连线。
接下来按上述步骤画出函数(y = \frac{4}{x})的图像。第一步列表，因为自变量(x\neq0)，又为了更方便地画出函数图像，所以取(x)为(-8)、(-4)、(-3)、(-2)、(-1)、(-\frac{1}{2})、(\frac{1}{2})、(1)、(2)、(3)、(4)、(8)。现在，请你们把这些(x)的值依次代入表达式(y = \frac{4}{x})，求出对应的(y)值，你们求对了吗？
第二步描点，在平面直角坐标系中按自变量从小到大的顺序依次描点。
第三步连线，依次用光滑的曲线连接各点。同学们观察此函数图像，它与我们的猜想一样吗？是一样的，图像不与坐标轴相交，位于一、三象限。
你们知道在画反比例函数图像的时候，我们要注意哪些问题吗？要注意以下问题：
一、列表时自变量的值可以选取一些互为相反数，这样既可简化计算，又便于对称性描点。
二、列表时应尽量多取一些数值，多描一些点，这样可以方便连线。
三、连线时最好按自变量从小到大的顺序依次用光滑的曲线连接，从中体会函数的增减性。
四、图像是连续延伸的，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接，还要注意不要画成有明确端点。比如这样连接是正确的，这样是错误的。
五、曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交，这是正确的画法，而这是错误的。
有了上面的操作经验，请同学们画出反比例函数(y = -\frac{4}{x})的图像。第一步列表，(x)也取(-8)、(-4)、(-3)、(-2)、(-1)、(-\frac{1}{2})、(\frac{1}{2})、(1)、(2)、(3)、(4)、(8)，代入函数表达式依次得到对应的(y)值。第二步描点，按自变量从小到大的顺序。第三步连线，用光滑的曲线依次连接各点。
同学们，通过以上操作，我们得到了反比例函数(y = \frac{4}{x})与(y = -\frac{4}{x})的图像。请你们观察图像，说一说这两个函数图像有什么相同点和不同点。
通过观察我们会发现这两个函数图像具有以下相同点：
一、图像分别都是由两支曲线组成的，可以看作是双曲线。
二、它们都不与坐标轴相交。你们知道反比例函数图像为什么不与坐标轴相交吗？因为自变量(x)不能等于(0)。
它们的不同点是图像所在象限不同，反比例函数(y = \frac{4}{x})的图像位于一、三象限，(y = -\frac{4}{x})的图像位于二、四象限。也就是说，当(k\gt0)时，图像位于一、三象限；(k\lt0)时，图像位于二、四象限。
由上面的分析，我们得出了关于反比例函数图像的以下结论：反比例函数的图像是由两支曲线组成的，因此称反比例函数图像为双曲线。反比例函数图像的位置由(k)决定，当(k\gt0)时，两支曲线分别位于一、三象限内；当(k\lt0)时，两支曲线分别位于二、四象限内。