师：各位同学，大家好！很高兴以线上的方式和大家共同学习。今天我们复习北师大版九年级下册第三章“圆”的主要内容，希望通过复习对大家的学习和提升有所帮助。首先来看本节课的学习目标与重难点。
- 学习目标：通过知识点回顾与整理，梳理本章内容，进一步建立圆的认知结构；通过相关练习，提高运用圆的知识解决问题的能力。
- 重点：对本章知识点的深入理解及构建知识架构。
- 难点：灵活运用本章知识解决问题。
接下来进入复习。
- 圆的基本概念及性质：课本给出圆的集合定义，平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫圆，定点是圆心，定长是半径。还有旋转定义，把一条线段绕其中一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫圆，这个定义课后大家认真看看。
- 和圆有关的概念：
- 弦与直径：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。
- 弧、优弧、劣弧、等弧、半圆：等弧的前提是在同圆或等圆中。
- 弦心距：圆心向圆中弦所作垂线段的长度，比如图中OA的长就是一条弦心距。
- 确定圆的方法：一是确定圆的两个要素，圆心确定位置，半径确定大小；二是不在同一条直线上的三个点确定一个圆，这也是圆的判定定理。
- 圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，有无数条对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，具有旋转不变性。
- 垂径定理：是证明线段或弧相等的重要定理。内容为垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。应用格式为，图中因为CD是直径，CD垂直于AB，所以AE = BE，弧AC = 弧BC，弧AD = 弧BD。课本还给出其逆定理，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等，这就是圆心角、弧、弦相等关系定理。
- 圆周角定理及其推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对弧上圆心角度数的一半。如在图中，∠ADB、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，都等于∠AOB的一半。圆周角定理的推论是，直径所对的圆周角是直角，90度圆周角所对的弦是直径。如图中，∠AC?B、∠AC?B、∠AC?B等都是直径所对的圆周角，都为90度；反之，若∠AC?B这样的圆周角是90度，那么它所对的弦是直径。
- 与圆有关的位置关系：
- 点与圆的位置关系：图中d表示点到圆心的距离，r表示圆的半径。若点P在圆外，则d > r；若点P在圆上，则d = r；若点P在圆内，则d < r。
- 直线与圆的位置关系：d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。直线和圆相交时，d < r；直线和圆相切时，d = r；直线和圆相离时，d > r。
- 圆的切线的性质及判定：圆的切线垂直于过切点的半径，图中因为l是圆O的切线，切点为A，OA是圆O的半径，所以OA垂直于l。圆的切线判定需经过半径外端且垂直于这条半径，图中因为OA是圆O的半径，OA垂直l于A，所以l是圆O的切线。
- 切线长定理：从圆外一点所画圆的两条切线长相等，图中因为PA、PB分别切圆O于A、B，所以PA = PB，可通过三角形全等来证明。
- 圆的内接多边形：圆的内接四边形对角互补，这是圆周角定理的重要推论。如图中，∠BAD + ∠BCD = 180度，∠ABC + ∠ADC = 180度。对于圆的内接正多边形，要了解其中心、中心角、半径、边心距等概念。图中，点O是圆内接正多边形的中心，∠COD是一个中心角，OC、OD是半径，过点O向CD作垂线，垂足为F，OF的长是边心距。
- 弧长与扇形面积的计算：n度圆心角所对弧长公式为l = $\frac{n\pi r}{180}$；n度圆心角所在扇形面积公式为S = $\frac{n\pi r2}{360}$，课后大家要了解这两个公式的关系并记忆。
以上是本章主要知识点，还有个别知识点未涉及，课后结合书本复习。下面通过几道习题检验复习效果。
- 第一题：一条弧所对圆心角为120度，圆半径为6厘米，求弧长和扇形面积。同学们思考后，答案为弧长4π厘米，扇形面积12π平方厘米。注意不要混淆两个公式。
- 第二题：如图，圆O中弦AB平行于CD，若∠ABC = 50度，求∠BOD的度数。同学们思考后，答案是C。解题思路：因为AB平行于CD，所以∠ABC = ∠BCD = 50度，根据圆周角定理，∠BOD = 2∠BCD = 100度，这里用到了平行线性质和圆周角定理。
- 第三题：如图，圆O中弦AB = 1.8厘米，圆周角∠ACB = 30度，求圆O的直径。提供两种思路：
- 连接AO并延长交圆O于D，连接BD。因为弧AB = 弧AB，所以∠D = ∠C = 30度，又因为AD是直径，所以∠ABD = 90度，AD = 2AB = 3.6厘米。
- 连接AO、BO，因为∠ACB = 30度，所以∠AOB = 60度，三角形AOB是等边三角形，OA = AB = 1.8厘米，圆的直径 = 2OA = 3.6厘米。
- 第四题：如图，已知在三角形ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过D作DE垂直AC于点E，CD = $\sqrt{3}$，∠ACB = 30度。大家思考可以提出哪些问题，可能有求证点D是BC中点、求圆O的半径、求点O到BD的距离、求证DE是圆O的切线等。
- 求证点D是BC中点：连接AD，因为AB是直径，所以∠ADB = 90度，即AD垂直于BC，又因为AB = AC，根据等腰三角形三线合一，CD = BD，点D是BC中点。
- 求圆O的半径：因为AB = AC，∠C = 30度，所以∠B = ∠C = 30度。连接AD，∠ADB = 90度。在直角三角形ABD中，AB2 = BD2 + AD2，且AB = 2AD，CD = BD = $\sqrt{3}$，所以AB = 2，AO = 1，圆O半径为1。
- 求点O到BD的距离：作OF垂直BD于点F，BF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。在直角三角形BOF中，OF = $\sqrt{BO2 - BF2}$ = $\sqrt{12 - (\frac{\sqrt{3}}{2})2}$ = $\frac{1}{2}$，点O到BD的距离是$\frac{1}{2}$。
- 求证DE是圆O的切线：
- 连接OD，因为BO = AO，BD = CD，所以OD平行于AC，∠ODE = ∠DEC = 90度，OD垂直于DE，DE切圆O于点D，所以DE是圆O的切线。
- 连接OD，因为OB = OD，AB = AC，所以∠BDO = ∠B，∠C = ∠B，∠BDO = ∠C，OD平行于AC，∠ODE = ∠DEC = 90度，OD垂直于DE，DE是圆O的切线。
- 连接AD、OD，设∠ADE、∠ODA、∠OAD分别为∠1、∠2、∠3。因为AB = AC，所以∠B = ∠ACB = 30度。因为AB是直径，所以∠ADB = 90度，∠3 = 90度 - ∠B = 60度。因为OD = OA，所以∠2 = ∠3 = 60度。因为DE垂直AC，∠ADC = ∠ADB = 90度，可得∠1 = ∠C = 30度，∠ODE = ∠1 + ∠2 = 90度，OD垂直于DE，DE是圆O的切线。
圆的内容综合性强，应用中要完善知识体系构建，从多角度思考问题，增强解决单一和综合问题的能力。
作业：
- 必做题：课本104面第4题，105面第11题。
- 选做题：课本108面第33题。
今天的课就上到这，同学们再见。