师：亲爱的同学们，大家好。欢迎走进数学课堂，今天我们要学习的内容是初中数学北师大版九年级上册第四章第五节相似三角形判定定理第二课时。同学们，还记得我们八年级下册学过的三角形中位线吗？谁能说出它的定义和性质？
生：三角形中位线的定义是连接三角形两边中点的线段。三角形中位线的性质是三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
师：非常好。同学们请看这张图，三角形ABC的中位线ED将三角形ABC分成了两个三角形，三角形AED和三角形ABC，请问它们相似吗？如何证明呢？大家思考探索一下。
生：（思考、讨论）
师：证明方法如下，因为ED是三角形ABC的中位线，所以ED平行于BC，根据平行线的性质，可得角AED等于角ABC，角ADE等于角ACB。三个角分别相等，所以三角形AED相似于三角形ABC。那如果老师把上面的问题改一下，点D在直线AB上移动，点E在直线AC上移动，且AD比AB等于AE比AC。请问三角形ADE和三角形ABC还相似吗？大家再思考探索一下。
生：（思考、讨论）
师：老师给大家一点提示，刚才利用三角形中位线证明两个三角形相似的方法，能给我们什么启示呢？三角形的中位线平行于第三边，那能不能做一条辅助线平行于BC呢？
生：（思考、讨论）
师：证明方法如下，过D点作DF平行于BC，因为DF平行于BC，所以角ADF等于角ABC，又因为角A是公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，所以三角形ADF相似于三角形ABC，所以AD比AB等于AF比AC。因为AD比AB等于AE比AC，所以AE比AC就等于AF比AC，所以AE就等于AF，这就说明DE与DF重合，所以三角形ADE相似于三角形ABC。
师：如果老师再把上面的条件弱化，如右图所示，已知在三角形ABC和三角形A'B'C'中，角A等于角A'，AB比A'B'等于AC比A'C'。求证三角形ABC相似于三角形A'B'C'，请同学们思考探索。
生：（思考、讨论）
师：证明方法如下，在三角形ABC的边AB或它的延长线上截取AD，等于A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则角B等于角ADE，角C等于角AED，所以三角形ABC相似于三角形ADE。所以AB比AD等于AC比AE。又因为AB比A'B'等于AC比A'C'，且AD等于A'B'，所以AB比AD等于AC比A'C'，所以AC比AE等于AC比A'C'，所以AE等于A'C'。而角A等于角A'，根据全等三角形的判定（SAS），所以三角形ADE全等于三角形A'B'C'，进而可得三角形ABC相似于三角形A'B'C'。归纳总结，由此我们得到了：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
师：思考探究，对于三角形ABC和三角形A'B'C'，如果A'B'比AB等于A'C'比AC，且角C等于角C'，这两个三角形一定会相似吗？请同学们思考。
生：（思考、讨论）
师：结论是不一定。如图，根据条件我们可以构造出两个不一样的三角形。归纳总结，如果三角形两边成比例，但相等的角不是这两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角。接下来进入小试牛刀环节，例题一，如图，在三角形ABC中，CD是边AB上的高，且AD比CD等于CD比BD，求证角ACB等于90度。请同学们思考探索。
生：（思考、讨论）
师：证明方法如下，因为CD是边AB上的高，所以角ADC等于角CDB等于90度。又因为AD比CD等于CD比BD，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以三角形ADC相似于三角形CDB，所以角ACD等于角B，所以角ACB等于角ACD + 角BCD = 角B + 角BCD = 90度。归纳总结，解题时需要注意隐含条件，比如垂直关系、三角形的高等。继续小试牛刀环节，例题2。如图，在四边形ABCD中，已知角B等于角ACD，AB等于6，BC等于4，AC等于5，CD等于7.5。求AD的长。请同学们思考探索。