师：同学们好，本节课我们来学习用公式法求解一元二次方程第一课时。首先，我们先来复习用配方法求解一元二次方程的步骤。有哪几步呢？
第一步，化一：方程两边都除以二次项系数，把二次项系数化为 1。
第二步，移项：把常数项移到方程的右边，注意移项要变号。
第三步，配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，转化成((x + m)^2 = n)的形式。当(n < 0)时，原方程无解；当(n \geq 0)时，可以直接开平方。
第四步，开方：直接开平方。
第五步，求解：解一元一次方程，写出原方程的解。
下面请同学们用配方法解下列方程。
第一题，先将方程化为一般形式，然后左右两边同时除以 2 可得……移项可得……配方，将方程左右两边同时加一次项系数(-\frac{7}{2})的一半的平方，可得……整理可得……开平方可得……解一元一次方程可得……所以原方程的解为(x_1 = 3)，(x_2 = \frac{1}{2})。
第二题，左右两边同时除以 3 可得……移项可得……方程两边同时加一次项系数(\frac{2}{3})的一半的平方，可得……整理可得……因为(-\frac{2}{9} < 0)，所以原方程无解。
那你能用配方法解方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)）吗？请你试一试。这个方程是关于(x)的一元二次方程，其中(a)、(b)、(c)为字母系数。根据用配方法求解一元二次方程的经验，第一步是化一，因为(a \neq 0)，所以方程左右两边可以同时除以二次项系数(a)可得……移项可得……配方，将左右两边同时加一次项系数(\frac{b}{a})的一半的平方可得……整理可得……
这里可以直接开平方吗？当然不可以。当(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0)时，原方程无解；当(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \geq 0)时，可以直接开平方。对于(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})，我们把它当成分子(b^2 - 4ac)除以分母(4a^2)，根据除法法则“同号得正，异号得负”来确定商的符号。因为(a \neq 0)，所以(4a^2 > 0)。当(b^2 - 4ac \geq 0)时，等式的右边(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})是大于或等于 0 的，是一个非负数，所以左右两边可以直接开平方。计算可得……因为(a)是不等于 0 的任意实数，所以(\vert a \vert)可以等于(a)，也可以等于(-a)。当(\vert a \vert = a)时，整理可得(x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})；当(\vert a \vert = -a)时，结合分式前面的正负，可以整理得(x + \frac{b}{2a} = \mp\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。无论(\vert a \vert)等于(a)或(-a)，总有(x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。移项整理可得(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。所以原方程的解为(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。
其中(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})称之为一元二次方程的求根公式。由上可知，对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)），当(b^2 - 4ac \geq 0)时，它的根是(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
请同学们用公式法解下列方程。
第一题，给出的是一般形式，我们可以直接确定(a)、(b)、(c)的值，将(a)、(b)、(c)的值代入(b^2 - 4ac)计算，可得(b^2 - 4ac = 121 > 0)，可以利用求根公式。请同学们和老师共同来叙述一下求根公式：(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。将数值代入计算，所以原方程的解为(x_1 = 9)，(x_2 = -2)。
第二题，给出的不是一元二次方程的一般形式，首先我们要将其化为一般形式，然后确定(a)、(b)、(c)的值，将(a)、(b)、(c)的值代入(b^2 - 4ac)计算，可得(b^2 - 4ac = 0)，可以利用求根公式(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})代入负值计算，所以原方程的解为(x_1 = x_2 = \frac{1}{2})。这里我们发现当(b^2 - 4ac = 0)时，方程有两个相等的实数根。
那你能用公式法解一元二次方程(3x^2 + 2x + 1 = 0)吗？请你试一试。跟着老师来订正，第一步确定(a)、(b)、(c)的值，第二步将(a)、(b)、(c)的值代入(b^2 - 4ac)计算，得(b^2 - 4ac = -8 < 0)。可以代入求根公式用公式法来求解吗？求根公式(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，其中(b^2 - 4ac \geq 0)，本题中(b^2 - 4ac = -8 < 0)，显然不可以代入求根公式来解此题的方程。由前面计算的经验我们知道，当式子的右边(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0)时，原方程无解。由此，我们可以判断本题的方程也是无解的。本节课一开始的时候，我们也用配方法判断出方程(3x^2 + 2x + 1 = 0)也是无解的。请你来比较一下这两种方法，显然公式法更简洁。
那么对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)），当(b^2 - 4ac < 0)时，它的根的情况是怎样的呢？是的，当(b^2 - 4ac < 0)时，原方程无解，我们也可称为原方程没有实数根。
对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)），如何来判断根的情况呢？对一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)），当(b^2 - 4ac > 0)时，方程有两个不相等的实数根；当(b^2 - 4ac = 0)时，方程有两个相等的实数根；当(b^2 - 4ac < 0)时，方程没有实数根。我们把(b^2 - 4ac)叫做一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)）的根的判别式，我们用符号(\Delta)来表示。
判断方程的根的情况，先将方程化为一般形式，然后再确定(a)、(b)、(c)的值，将(a)、(b)、(c)的值代入根的判别式计算可得(b^2 - 4ac = 9 > 0)，所以原方程有两个不相等的实数根。
请同学们用 5 分钟的时间完成下列各题。
第一题，判断下列方程根的情况。
第一小题，(2x^2 - 9x + 8 = 0)，给出的是一般形式，所以我们第一步先确定(a)、(b)、(c)的值，第二步将(a)、(b)、(c)的值代入根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac)中计算可得，因为(b^2 - 4ac = 17 > 0)，所以原方程有两个不相等的实数根。
第二题，给出的方程不是一般形式，我们先将其化为一般形式，这里(a = 9)，(b = 6)，(c = 1)，将(a)、(b)、(c)的值代入根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac)计算可得，因为(b^2 - 4ac = 0)，所以原方程有两个相等的实数根。
第三题，给出的也不是一般形式，首先我们将其化为一般形式，得(x^2 - 3x + 5 = 0)，这里(a = 1)，(b = -3)，(c = 5)，将(a)、(b)、(c)的值代入根的判别式计算可得，因为(b^2 - 4ac = -11 < 0)，所以原方程没有实数根。
第 2 题，上述方程如果有解，求出该方程的解。
由第一题的判断我们可知，第一个方程和第二个方程是有解的。
解第一步先确定(a)、(b)、(c)的值，第二步将(a)、(b)、(c)的值代入(b^2 - 4ac)中计算，可得(b^2 - 4ac = 17 > 0)，可以利用求根公式来求解，将数值代入求根公式整理可得，所以原方程的解为(x_1 = \frac{9}{4} + \sqrt{17})，(x_2 = \frac{9}{4} - \sqrt{17})。
第二题，将原方程化为一般形式，得(9x^2 + 6x + 1 = 0)，这里(a = 9)，(b = 6)，(c = 1)，将(a)、(b)、(c)的值代入根的判别式计算可得(b^2 - 4ac = 0)，可以利用求根公式(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})代入数值计算，所以原方程的解为(x_1 = x_2 = -\frac{1}{3})。
第 3 题，关于(x)的方程(m^2x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0)有两个实数根。方程有两个实数根，说明该方程是关于(x)的一元二次方程，那么二次项系数(m^2 \neq 0)。而一元二次方程根的情况是根据根的判别式来判定，根的判别式为(\Delta = b^2 - 4ac)。当(b^2 - 4ac > 0)时，原方程有两个不相等的实数根；当(b^2 - 4ac = 0)时，原方程有两个相等的实数根；当(b^2 - 4ac < 0)时，原方程没有实数根。本题要求此方程有两个实数根，所以(b^2 - 4ac \geq 0)。解此题，(a)、(b)、(c)的值分别为(m^2)、(2m + 1)、(1)，将(a)、(b)、(c)的值代入(b^2 - 4ac)中整理可得……根据题意，(b^2 - 4ac \geq 0)且(a \neq 0)，即(4m + 1 \geq 0)且(m^2 \neq 0)，解得(m \geq -\frac{1}{4})且(m \neq 0)。所以，本题(m)的取值范围是(m \geq -\frac{1}{4})且(m \neq 0)。
一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)）的求根公式是什么？请同学们和老师共同来叙述一下：(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，其中(b^2 - 4ac \geq 0)。我们是用根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac)来判断一元二次方程根的情况。当(b^2 - 4ac > 0)时，原方程有两个不相等的实数根；当(b^2 - 4ac = 0)时，原方程有两个相等的实数根；当(b^2 - 4ac < 0)时，原方程无实数根。
同学们，我们用公式法解方程应注意的问题是什么呢？公式法是对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)）且(b^2 - 4ac \geq 0)而言的。同学们，你在解方程的过程中，一定有自己的小技巧吧，请你一定把它记下来。
请同学们课后认真完成作业练习单上的习题。同学们，本节课到此结束，再见同学们。