师：同学们好，这节课我们一起学习第四章图形的相似第五节——相似三角形判定定理的证明。先来看学习目标：一是会证明相似三角形判定定理；二是运用相似三角形的判定定理解决相关问题。同学们，如何判定两个三角形全等呢？有哪些方法？
生：可以根据三边分别相等来判定两个三角形全等；也能根据两角及其夹边分别相等判定两个三角形全等；还能根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等来判定两个三角形全等；以及根据两边相等且夹角相等判定两个三角形全等。对于特殊的直角三角形，还能根据 HL 对应相等判定两个三角形全等。
师：非常好。那同学们思考一下，如何判定两个三角形相似呢？又有哪些方法？
生：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
师：很好。对于“三边成比例的两个三角形相似”这个命题，如何证明呢？请大家作图并写出已知和求证。
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'。
求证：△ABC∽△A'B'C'。
那如何证明这个结论呢？大家根据已有的知识思考一下。
证明：在△ABC 的边 AB、AC 或者它们的延长线上分别截取 AD = A'B'、AE = A'C'，连接 DE。因为 AB : A'B' = AC : A'C'，且 AD = A'B'，AE = A'C'，所以 AB : AD = AC : AE。又因为∠BAC = ∠DAE（它们是同一个角），根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE。因为两三角形相似，所以 AB : AD = BC : DE（相似三角形对应边成比例）。又因为 AB : A'B' = BC : B'C'，且 AD = A'B'，所以 AB : AD = BC : B'C'。由此可得 BC : DE = BC : B'C'，所以 DE = B'C'。这样一来，△ADE≌△A'B'C'（三边分别相等的两个三角形全等），所以△ABC∽△A'B'C'。大家学会了吗？那同学们再思考一下，还有没有其他方法可以证明这两个三角形相似呢？
我们还可以应用判定定理一和判定定理二的证明思路，做平行线证明。在△ABC 的边 AB 或延长线上截取 AD = A'B'，过 D 点作 DE∥BC，交 AC 于点 E。于是有∠B = ∠ADE，∠C = ∠AED（两直线平行，同位角相等），所以△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似），进而可得 AB : AD = BC : DE = AC : AE。因为 AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'，且 AD = A'B'，所以 BC : DE = BC : B'C'，AC : AE = AC : A'C'，所以 DE = B'C'，AE = A'C'。所以△ADE≌△A'B'C'（三边对应相等的两个三角形全等），所以△ABC∽△A'B'C'。大家学会了吗？我们一起来看个例题，大家先思考一下。
师：同学们，△ABC 为什么相似于△DEF 呢？题目只给了三边长度，所以我们应该根据三边成比例来判定这两个三角形相似。那在判断三边成比例的时候要注意什么问题呢？在△ABC 中，先对三边长短排序，AB＞BC＞CA；同理，在△DEF 中，DE＞EF＞FD。
因为 AB : DE = 4 : 2.4 = 5 : 3，BC : EF = 3.5 : 2.1 = 5 : 3，CA : FD = 3 : 1.8 = 5 : 3，所以 AB : DE = BC : EF = CA : FD，所以△ABC∽△DEF。大家做对了吗？在这里请大家总结一下，三边成比例的时候，应该是长边比长边，短边比短边。总结来说就是大对大、小对小、中对中，大就是最大的边，小就是最小的边，还有排在中间的边。