师：同学们，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。今天我们将共同学习北师大版九年级数学上册第一章第二节矩形的性质与判定的第三课时。在之前几节课，我们已经了解了矩形的定义，掌握了矩形的性质与判定方法。现在我们来回顾一下这些内容。首先，矩形的性质可以从哪些方面考虑呢？我们可以从这几个方面归纳。从对称性看，矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。边的方面，矩形对边平行且相等。角的方面，矩形四个角都是直角。对角线方面，矩形对角线相等且互相平分。其中，矩形四个角都是直角以及对角线相等是矩形的特殊性质。根据对角线相等且互相平分的性质，我们能推导出在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即BO等于斜边AC的1/2。
那么矩形的判定方法有哪些呢？我们可以从两个方面考虑。一是有一个平行四边形，证明它是矩形。根据定义法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；或者对角线相等的平行四边形是矩形。二是由一个四边形推导为矩形，三个角是直角的四边形是矩形，或者对角线相等且互相平分的四边形也是矩形。
好，刚才我们对矩形的相关知识进行了复习回顾，接下来我们一起探究如何利用矩形知识解决相关几何证明与计算问题。同学们，你们能使用矩形的性质求线段的长度吗？我们来看例一，请大家认真分析图形特点和已知条件，相信聪明的你们会有所发现。同学们，有思路了吗？下面我们一起来分析。
题目中说在矩形ABCD中，这就意味着矩形的所有性质都可用。由对角线相等且互相平分的性质可得OA = OB = OC = OD。又因为ED = 3倍的BE，所以BD = 4倍的BE，即OB = 4BE，所以BE = OE。再根据AE垂直于BD，由垂直平分线的性质可知AB = AO，通过等量代换可得AO = AB = OB，那么三角形AOB就是等边三角形。利用等边三角形性质可知角ABD是60度，因为矩形每个内角都是90度，所以角BAD也是90度，由此可求出角ADB是30度。再根据AE垂直于BD，利用直角三角形30度角所对直角边是斜边一半的性质可知，在直角三角形AED中，AE是30度角所对的直角边，它等于斜边AD的1/2，也就是等于3。
同学们，听明白了吗？请在练习本上试着写一下过程。好，我们再一起来看看详细解题过程，看看大家写得是否规范。首先，因为四边形ABCD是矩形，根据矩形四个角都是直角以及对角线相等的性质，可知角BAD是90度，且AC = BD。所以OA = OC = 1/2AC，OB = OD = 1/2BD，这样就得出OA、OB、OC、OD都相等。因为题目已知条件ED = 3倍的BE，所以BD = 4倍的BE，进而推出OB = 4BE，得出BE = OE。结合AE垂直于BD这个条件，可知AE是OB的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出AB = OA。通过等量代换，所以OA = AB = OB，所以三角形OAB是等边三角形。因为等边三角形每个内角都是60度，所以角ABD = 60度。再由三角形内角和定理可算出角ADE = 30度，这样就可以利用直角三角形中30度角的性质推导出AE = 1/2AD。已知AD = 6，所以AE = 3。
本题主要利用矩形的性质计算线段长度，考察了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定，以及含30度角的直角三角形的性质，大家要注意掌握数形结合思想的应用。接下来我们看看矩形判定方法的应用例二。请同学们独立思考，认真审题，题目要我们证明四边形ADCE是矩形，我们结合题中已知条件，看看该用哪种判定方法呢？由AD平分角BAC，AN平分角CAN，根据角平分线的定义，可推导出角DAE = 90度。由AB = AC，AD平分角BAC，联想到等腰三角形三线合一的性质，可推导出角ADC = 90度。已知CE垂直于AN，所以角AEC也是90度。这样四边形ADCE就是矩形了。
刚才的分析同学们听懂了吗？我们一起来看解题过程。首先，由两条角平分线的定义可得角DAE = 90度，它等于平角BAM的一半。再由等腰三角形三线合一的性质可得角ADC = 90度。又因为已知CE垂直于AN，根据垂直的性质可知角CEA = 90度。从而根据“三个角是直角的四边形是矩形”这种判定方法，得出题目要我们求证的结论。本题主要考察了矩形的判定方法以及等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识点。解题关键是运用三线合一及角平分线的定义，得到两个角是直角。我们知道矩形有三种判定方法，细心的同学一定会发现还有其他方法，请大家交流思考一下。
解法二，用定义法证明矩形。根据题中已知条件，可知角1 = 角2。角CIM是外角，由外角的性质可知角CIM = 角B + 角ACB。因为三角形ABC是等腰三角形，等边对等角，所以角B = 角ACB，也就是角1 = 角B。由同位角相等，可推导出AE平行于CD。因为AD平分角BAC，AN平分角CAM，由角平分线的定义求出角DAE = 90度。已知CE垂直于AN，可知角AEC = 90度，所以AD和CE也是互相平行的关系。那么两组对边分别平行的四边形就是平行四边形了。再添上任意一个角是直角，比如角AEC = 90度，那么根据定义法可推导出四边形ADCE是矩形。
根据刚才对例一、例二的探究，我们来交流归纳一下。判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法。如果可以证明三个角都是直角，可直接证出矩形；如果只能证出一个角为直角或对角线相等，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明它是矩形。大家要注意，矩形的应用常跟三角形的相关知识点结合使用。请同学们思考，如果在例二的条件下连接DE交AC于点F，此时看两个问题：一、判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；二、线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论。本题是一个变式练习，是对例二的拓展训练。从图中我们不难发现四边形ABDE是平行四边形。那么如何验证猜想呢？我们刚刚证明了四边形ADCE是矩形，那么由矩形的性质可知DE = AC，AE = CD。再由等腰三角形三线合一以及两腰相等的性质可得AB = AC，BD = CD。通过等量代换可知AE = BD，AB = DE，所以四边形ABDE是平行四边形。
同学们，看明白了吗？首先大胆猜想，然后借助矩形的性质，结合等腰三角形相关性质，通过等量代换，推导出两组对边分别相等的四边形是平行四边形。同学们，还有其他解法吗？在这里可以根据矩形的性质得到AE平行且等于CD，由BD = CD这个已证结论可知，AE平行且等于BD，所以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法也可验证我们的猜想。在刚才的解题过程中，我们发现往往一题多解，所以大家在平时练习中要开阔思维，学会从不同角度分析解决问题。再看第二小题，大家要从位置和数量上来猜想验证。我们可以根据数学经验不难猜想到DF和AB在位置上是平行关系，数量上是AB的1/2。理由如下：因为四边形ADCE为矩形，那么由矩形的性质可知AF = CF，这是对角线互相平分。又因为BD = CD，所以DF就是三角形ABC中的一条中位线。由中位线的性质可知DF平行于AB且等于AB的1/2。本题主要考察了平行四边形的判定、矩形的性质、等腰三角形的性质、中位线的性质，灵活运用这些性质进行推理论证是解决问题的关键。