师：同学们，大家好。上节课我们学习了三角形内切圆及内接的相关性质，结合前面所学三角形外接圆及外心的知识，现在我们利用表格对三角形内切圆及外接圆相关知识进行梳理与回顾。
如图，圆(i)叫做三角形(ABC)的内切圆，圆心(i)叫做三角形(ABC)的内心。内心的性质：一是内心是三角形三条角平分线的交点；二是内心到三角形三边的距离相等；三是内心一定在三角形的内部。
再看，圆(O)叫做三角形(ABC)的外接圆，圆心(O)叫做三角形(ABC)的外心。外心的性质：一是外心是三角形三条垂直平分线的交点；二是外心到三角形三个顶点的距离相等；三是外心不一定在三角形的内部，特殊地，当三角形是锐角三角形时，外心在三角形的内部。
了解了内心和外心的相关性质之后，本节课我们将重点运用内心和外心的相关性质解决问题。下面我们一起来看内心和外心中与角度有关的问题。
例一，如图，在锐角三角形(ABC)中，(\angle A = \alpha)。第一小题，点(O)是三角形(ABC)外心，求(\angle BOC)的度数。
我们知道外心是外接圆的圆心，因此可以作出外接圆(O)。观察在外接圆(O)中，(\angle BOC)和(\angle A)有怎样的位置关系？我们知道(\angle BOC)和(\angle A)是同弧所对的圆心角和圆周角。根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，我们可以知道(\angle BOC = 2\angle A = 2\alpha)。
同学们，若点(i)是三角形(ABC)内心，你会求(\angle BIC)度数吗？一起来看第二小题，点(i)是三角形(ABC)内心，求(\angle BIC)的度数。
一起来分析问题。题目告诉我们(\angle A = \alpha)，根据三角形内角和是(180^{\circ})，我们可以推出(\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \alpha)。又因为点(i)是内心，根据内心是角平分线交点这一性质，我们知道(BI)、(CI)分别是(\angle ABC)和(\angle ACB)的角平分线。因此(\angle IBC = \frac{1}{2}\angle ABC)，(\angle ICB = \frac{1}{2}\angle ACB)。由此我们可以计算得(\angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB))。在三角形(IBC)中再次利用三角形内角和是(180^{\circ})，即可求得(\angle BIC)的度数。
下面我们一起来书写过程。解：因为(\angle A = \alpha)，所以(\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \alpha)。又因为点(i)是三角形(ABC)内心，所以(\angle IBC = \frac{1}{2}\angle ABC)，(\angle ICB = \frac{1}{2}\angle ACB)，所以(\angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \alpha))。所以(\angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(180^{\circ} - \alpha) = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2})。
同学们观察这两个练习，我们发现(\angle BIC)和(\angle BOC)都与(\angle A)之间存在着数量关系。下面我们通过练习来巩固这一知识。
练习一，如图，点(i)和点(O)分别是三角形(ABC)内心和外心。若(\angle BIC = 125^{\circ})，求(\angle BOC)的度数。
通过例一我们知道可以利用(\angle A)建立(\angle BIC)和(\angle BOC)之间的关系。因此我们可以通过(\angle BIC)的度数求出(\angle A)的度数，进而求出(\angle BOC)的度数。
下面我们一起来写写看。因为点(i)是三角形(ABC)内心，所以(\angle ABC = 2\angle IBC)，(\angle ACB = 2\angle ICB)。又因为(\angle BIC = 125^{\circ})，所以(\angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ} - \angle BIC = 55^{\circ})，所以(\angle ABC + \angle ACB = 2(\angle IBC + \angle ICB) = 110^{\circ})，所以(\angle A = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 70^{\circ})。因为点(O)是三角形(ABC)外心，所以(\angle BOC = 2\angle A = 140^{\circ})。
回顾例一及刚刚的练习，我们发现在解决内心和外心中与角度有关的问题时，我们常常会用到三个知识：一是三角形内角和是(180^{\circ})；二是同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；三是内心是角平分线的交点。
说到内心是角平分线的交点，我们知道内心有两个重要的性质，一是角平分线的交点，还有一个是内心到三角形三条边的距离相等，这个距离又与三角形的三条边及面积有怎样的数量关系呢？我们一起来看例2。
如图，直角三角形(ABC)内切圆(i)与(CA)、(CB)、(AB)分别相切于点(D)、(E)，且(CB = a)，(CA = b)，(AB = c)，(\angle C = 90^{\circ})。求内切圆半径(r)。
要求内切圆半径(r)，我们首先应该画出半径(r)。题目告诉我们圆(i)与三边都相切，我们通常连接内心与切点。这里我们可以连接(ID)，(IE)，(IF)，得到(ID\perp CD)，(IE\perp CE)。又因为(\angle C = 90^{\circ})，所以四边形(IDCE)是矩形。又因为(ID = IE)，所以四边形(IDCE)是正方形。由此我们可以知道(ID = IE = CD = CE = r)。
再根据切线长定理，我们知道(AD = AF)，(BE = BF)，所以(BE = BF = a - r)，(AD = AF = b - r)。观察图形，(AF + BF = AB)，因此我们有((a - r) + (b - r) = c)。
下面我们一起来书写过程。解：连接(ID)，(IE)，(IF)。因为圆(i)与(CA)、(CB)、(AB)分别相切于点(D)、(E)、(F)，所以(AD = AF)，(BE = BF)，(CE = CD)，且(ID\perp DC)，(IE\perp CE)，(\angle C = 90^{\circ})，(ID = IE)，所以四边形(IDCE)为正方形。设(ID = IE = CD = CE = r)，则(BE = BF = a - r)，(AD = AF = b - r)，((a - r) + (b - r) = c)，计算得(r = \frac{a + b - c}{2})。
由此我们可以得到结论：设直角三角形(ABC)的直角边为(a)、(b)，斜边为(c)，则直角三角形内切圆半径(r = \frac{a + b - c}{2})。
观察这个结论，我们发现直角三角形内切圆半径(r)可以用三边进行表示，那还有没有其他的表示方法呢？回忆刚刚的解题过程，我们连接(ID)，(IE)，(IF)，得到了一些互相垂直的线段，在三角形中，由垂直我们很容易想到高，由高我们想到面积。同学们，你能用面积来解决这个问题吗？
我们可以在刚刚的基础上连接(IA)，(IB)，(IC)，这样我们就将三角形(ABC)分成了三个小三角形，分别是三角形(ABI)、三角形(ACI)和三角形(BCI)。利用面积相等，我们能得到如下的式子：因为(S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABI} + S_{\triangle ACI} + S_{\triangle BCI})，所以(S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr)，所以(r = \frac{2S}{a + b + c})。