师：同学们好，上一节课我们学习了元小结与评价的第一课时内容。今天我们继续学习第二课时内容。本节课我们将从直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆、弧长与扇形面积的计算这四个部分对知识进行回顾整理。
在直线与圆中，我们研究了直线与圆的位置关系，探究了圆的切线性质及判定。在三角形与圆中，我们了解了三角形的内切圆概念以及相关知识。我们还通过等分圆周了解了圆的内接、外切正多边形以及与正多边形有关的计算。最后我们通过圆的周长和面积公式推导了弧长与扇形面积的计算公式，并且用弧长与扇形面积公式推导了圆锥的侧面积计算公式。下面我们就来回顾每一部分的重点知识。
一、直线与圆的位置关系
从图形上看，直线与圆有三类位置关系，分别是相离、相切和相交。我们可以从直线和圆的公共点的个数来区分它们。
相离：一条直线与一个圆没有公共点，叫做直线与这个圆相离。
相切：一条直线与一个圆只有一个公共点，叫做直线与这个圆相切。
相交：一条直线与一个圆有两个公共点，叫做这条直线与这个圆相交。
这里除了要识别图形、掌握文字语言，我们还可以通过判断圆心到这条直线的距离(d)和半径(r)之间的数量关系，来识别直线和圆的位置关系。如果设圆的半径为(r)，圆心到直线的距离为(d)，则有：当直线与圆相离时，(d＞r)；当直线与圆相切时，(d = r)；当直线与圆相交时，(d＜r)。反之也成立。
在直线与圆的位置关系当中，直线与圆相切是一种特殊的位置关系，也是我们研究的重点。下面我们一起回顾切线的性质和判定。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。从图上看，因为直线(l)是圆(O)的切线，(A)是切点，所以直线(l)垂直于(OA)。
切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。从图形上看，因为(OA)为圆(O)的半径，(BC)垂直于(OA)于点(A)，所以(BC)为圆(O)的切线。
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。从图形上看，因为(PA)、(PB)分别切圆(O)于(A)、(B)两点，所以(PA = PB)，(\angle OPA = \angle OPB)。圆的切线长定理为我们判断线段相等、角相等提供了依据。
下面我们一起来看以上定理的几个运用。
例1，如图，点(O)是(\angle BAC)边(AC)上的一点，圆(O)与边(AB)相切于点(D)，与线段(AO)相交于点(E)。若点(P)是圆(O)上一点，且(\angle EPD = 35^{\circ})，则(\angle BAC)的度数为多少？
我们从要求的(\angle BAC)出发，根据题目中已知圆(O)与边(AB)相切于点(D)，由切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，因此我们连接切点与圆心得到线段(OD)。这样就将(\angle BAC)放在了直角三角形(ADO)当中。再根据已知条件(\angle EPD = 35^{\circ})，(\angle EPD)所对的弧为(\overset{\frown}{ED})，(\overset{\frown}{ED})所对的圆心角为(\angle DOE)。依据圆周角定理可知，同弧所对圆心角是其所对圆周角的两倍，所以(\angle DOE = 2\angle EPD = 70^{\circ})。再根据(\angle BAC)与(\angle DOA)互余的关系，我们可以求得(\angle BAC = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ})。
本题中由圆(O)与(AB)相切这个条件，我们做出了辅助线(OD)。那么在遇到与已知圆的切线问题时，我们往往通过见切点连半径得垂直来解决问题。请同学们体会这种添加辅助线的方法。
再来看例2，如图，(\triangle ABC)中，(AB = AC)，以(AB)为直径的圆(O)交边(BC)于(P)，(PE\perp AC)于(E)，求证(PE)是圆(O)的切线。
我们先从要证的结论进行分析。这里要证(PE)是圆(O)的切线，因为点(P)在圆(O)上，根据切线的判定定理，我们只需证(PE)垂直于半径(OP)，因此我们作辅助线连接(OP)。要证(PE\perp OP)，只需证(\angle OPE = 90^{\circ})。由题中所给的条件(PE\perp AC)，可得直角(\angle PEC)。观察到(\angle OPE)与(\angle PEC)为内错角，因此本题转化为只需求证(OP\parallel AC)。如何证(OP\parallel AC)呢？如果我们从(AB = AC)这个条件出发，可得(\triangle ABC)为等腰三角形，因此(\angle B = \angle C)。又因为(OB)、(OP)是圆的半径，所以(\angle B = \angle OPB)，从而(\angle OPB = \angle C)，因此(OP\parallel AC)。下面请看证明过程。
如果我们从圆的条件出发，由题中所给的条件(AB)为直径，我们可以得出(AB)所对的圆周角为直角。这样我们连接(AP)可得(\triangle ABP)为直角三角形。再结合(AB = AC)等腰这个条件，由等腰三角形三线合一的性质可以得到等腰三角形底边上的高线也是底边的中线，从而可以证得点(P)是(BC)的中点。再根据点(O)为(AB)的中点，也可以得到(OP)为(\triangle ABC)的中位线，进而得出(OP\parallel AC)。请同学们完成方法一的证明过程。
在本题中，要证(PE)是圆(O)的切线，我们连接了半径(OP)，这种有交点连半径证垂直是我们证圆的切线时常用的辅助线添加方法。另外在方法二中，注意到(AB)为圆的直径这个条件，我们又可以通过连接(AP)构造直角三角形(\triangle ABP)的模型。那么请同学们体会在圆中通过作辅助线构造等腰三角形以及直角三角形等常见数学模型的思路。下面我们对以上例题做一个归纳。
在涉及到圆的切线问题时，常常需要添加辅助线。添加辅助线常有以下两种方法：
有切线时，常用辅助线的添加方法为见切点连半径得垂直。
证切线时，辅助线的添加方法为：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径。
再来看第二部分的知识，三角形的内切圆及内接。
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
下面我们看一个重要结论，圆(I)内切于(\triangle ABC)，那么(\triangle ABC)内切圆的半径可以怎么表示呢？我们利用面积相等法，即(\triangle ABC)的面积可以表示为(\triangle ABI)、(\triangle BCI)、(\triangle ACI)的面积之和。代入面积公式，我们可以得到三角形内切圆的半径的表达式为(r = \frac{2S}{a + b + c})。这里(S)是(\triangle ABC)的面积，(a)、(b)、(c)是三角形的三边长。这里就揭示了三角形内切圆的半径和该三角形的面积以及三边长之间的关系。
特别的，直角三角形内切圆的半径还可以怎样表示呢？如图，三角形的内切圆为圆(O)。由前面学习的切线长定理，我们可以得到以下三组线段相等，分别是(AF = AE)，(BE = BD)，(CF = CD)。通过等量代换，我们可以得到三角形内切圆的半径的另一个表达式，即(r = \frac{a + b - c}{2})。要注意的是，本公式只适合于直角三角形。下面我们来看它的一个运用。
例3，如图，直角三角形的两直角边(BC = 5)厘米，(AC = 12)厘米，则其内切圆的半径为多少，外接圆的半径为多少？