师：同学们，你们好！今天我们一起来学习几何图形的折叠与裁剪。手工折纸和非遗剪纸是日常生活中常见的折叠形式，其实在常见的几何图形里也存在一些折叠问题。接下来，让我们一起探索三角形和矩形中的折叠情况。
首先研究三角形中的折叠。当折痕经过三角形的顶点时，存在两种情况：一是折叠后三角形的顶点落在三角形的一边上；二是折叠后三角形的顶点落在任意位置。下面我们先来研究经过三角形顶点，折叠后顶点落在三角形一边上的情况。
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$BC$上，把$\triangle ACD$沿$AD$折叠，点$C$落在$AB$上，得到$\triangle ADE$。请同学们观察图形并思考，图中有哪些等量关系呢？
因为折叠后$\triangle ACD$与$\triangle AED$重合，所以$\triangle ACD \cong \triangle AED$。利用全等三角形对应边、对应角分别相等的性质，我们可以得到$AC = AE$，$DC = DE$，$\angle CAD = \angle EAD$，$\angle C = \angle AED = 90^{\circ}$，$\angle CDA = \angle EDA$。又因为折叠后点$C$与点$E$重合，所以$AD$是$CE$的垂直平分线。
在这里，由于$\angle C = \angle BED = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle B$，所以$\triangle BCA \sim \triangle BED$。在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理可得$DE^{2} + BE^{2} = BD^{2}$。
下面我们来看例一。如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$。把直角边$AC$沿直线$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，且点$C$与点$E$重合。求$CD$的长。请同学们先独立思考。
同学们，你们完成了吗？下面我们一起来看解析方法。
解法一：利用勾股定理建立方程。由折叠可知$\triangle ACD \cong \triangle AED$，所以$CD = DE$，$AE = AC = 6$，$\angle C = \angle AED = 90^{\circ}$。我们不妨设$CD = DE = x$，则$BD = 8 - x$。利用勾股定理求出$AB = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$，所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$。
在$Rt\triangle DEB$中，由勾股定理可得$DE^{2} + BE^{2} = BD^{2}$，即$x^{2} + 4^{2} = (8 - x)^{2}$。解方程：
[
\begin{align*}
x^{2} + 16 &= 64 - 16x + x^{2}\
16x &= 64 - 16\
16x &= 48\
x &= 3
\end{align*}
]
所以$CD$的长等于$3$。我们利用勾股定理建立方程，从而求出了线段$CD$的长度。
同学们，你们还有其他的解法吗？我们来看解法二。
解法二：利用相似三角形建立方程。由折叠得到$\triangle ACD \cong \triangle AED$，$CD = DE$，$AE = AC = 6$，$\angle C = \angle AED = 90^{\circ}$。此时$\triangle BCA \sim \triangle BED$。设$CD = DE = x$，则$BD = 8 - x$。由勾股定理求出$AB = 10$。
利用相似三角形对应边成比例，可得比例式$\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB}$，即$\frac{x}{6} = \frac{8 - x}{10}$。解方程：
[
\begin{align*}
10x &= 6(8 - x)\
10x &= 48 - 6x\
10x + 6x &= 48\
16x &= 48\
x &= 3
\end{align*}
]
从而求出$CD$的值等于$3$。在这里，我们借助相似三角形对应边成比例来建立方程，最终求出线段$CD$的长。
我们还有其他的解法吗？一起来看解法三。
解法三：利用三角函数建立方程。通过前面的分析，我们已求出$AB = 10$，$BE = 4$。设$CD = DE = x$。在$Rt\triangle BDE$中，$\tan B = \frac{DE}{BE}$；在$Rt\triangle BCA$中，$\tan B = \frac{AC}{BC}$。
所以可建立方程$\frac{x}{4} = \frac{6}{8}$，解方程：
[
\begin{align*}
8x &= 24\
x &= 3
\end{align*}
]
所以$CD$的值等于$3$。在这种解法当中，我们利用了同角三角函数值相等来建立方程，从而求出线段$CD$的长。
通过以上三种解法，我们发现可以利用勾股定理、相似三角形对应边成比例、同角三角函数值相等来建立方程，最终求出线段的长。
接下来我们再来研究当折痕经过三角形的一个顶点，折叠后三角形的顶点落在任意位置的情况。
如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$上一个动点，$\triangle ABD$沿$AD$折叠，点$B$落在$B'$上。点$B'$运动的轨迹是什么呢？请同学们先独立思考。
当点$D$在$BC$边上移动时，大家观察$B'$的落点。实际上，$B'$的落点是以$A$为圆心，以$AB$为半径的一段圆弧。通过刚才的演示，我们明确了$B'$的运动轨迹是以点$A$为圆心，以$AB$为半径的一段圆弧。
下面一起来看例2，请大家自己读题，然后独立思考。
同学们，你们解决了吗？我们一起来看。通过刚才的演示，我们知道$B'$运动的路径是以$A$为圆心，$AB$为半径的一段圆弧。在这道问题当中，半径$AB = 4$。而圆弧所对的圆心角的度数是$\angle BAC$的$2$倍。此时点$D$运动到了某位置，我们利用三角形内角和可以先求出$\angle BAC$的度数等于$80^{\circ}$，所以运动后最大的圆心角$\angle BAB' = 160^{\circ}$。
根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$B'$运动路径的长为$\frac{160\pi \times 4}{180} = \frac{32\pi}{9}$。
刚才我们研究了三角形当中的折叠，下面我们继续探索四边形中的折叠。我们分两种情况来研究：折痕经过图形的顶点和折痕不经过图形的顶点。
先来看第一种情况。如图，在矩形$ABCD$中，将$\triangle ABC$沿$AC$折叠，点$B$落在点$E$处。此时$AD$与$CE$交于点$F$。请同学们观察图形并寻找图中的等量关系。