师：同学们，大家好。前面我们学习了等可能情形下的概率，今天我们来学习用频率估计概率。
首先，我们来看学习目标：一是当事件的试验结果不是有限个，或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率；二是理解试验次数较大时频率趋于稳定这一规律；三是结合具体情境，掌握如何用频率估计概率，这也是本节课的学习重点。本节课我们将围绕这三个目标展开探究。同学们，回顾一下，用列举法求概率的条件是什么？
生：用列举法求概率必须满足两个条件：一是试验的所有结果是有限个；二是各种结果的可能性要相等。
师：非常好。在生活实际中，并非所有事件都满足这两个条件。例如有两个问题：一是怎样考察树苗在一定条件下移植的成活率；二是从一定高度落下的图钉会有几种结果，它们发生的可能性相等吗？这里的树苗成活率以及钉尖朝上的概率，能不能用列举法求概率？为什么？
生：因为每棵树苗品质不同，成活率不一样，图钉落地时钉尖、钉帽形状大小不同，所以这两件事都不是等可能事件，不能用列举法求概率。
师：没错。当出现等可能事件时，可用列举法求事件发生的概率；当出现不等可能事件时，又该如何求它发生的概率呢？这就是我们这节课要探究的内容。
我们从最基础的抛硬币实验开始探究。抛掷一枚硬币正面向上的概率是1/2，这个概率能否通过试验的方法得到呢？首先观察实验，一位同学在做抛硬币游戏时，将获得的数据绘制成了下表及折线统计图。其中出现正面的频率等于出现正面的次数除以抛掷次数。看一下统计表，抛掷次数逐渐增大，出现正面的频率会有什么特点呢？再看看折线统计图中描出的点有什么特征。
生：通过统计表和统计图可知，当抛掷次数很多时，出现正面的频率将稳定在0.5附近。
师：实际上，这个试验同学们也可以自己动手做，但要注意三点：一是做抛掷硬币试验时，一定要在同一高度抛掷，并且抛掷动作一致；二是填写表格，统计实验结果，计算频率结果必须保留3位小数；三是抛掷试验的总次数不少于100次。下面同学们把课前准备好的工具拿出来，结合这三点与老师一起做实验。（老师演示抛硬币：反面、反面、正面、正面、反面……）请同学们思考，为什么抛硬币要在同一高度抛掷，并且要同一动作呢？
生：这样能确定每次试验是等可能事件。
师：由于时间关系，我们无法在课堂上进行大量重复实验，那该怎么办呢？可以在课后继续完成，既可以一个人单独完成，同学们一定要细心、有毅力；也可以小组合作完成，然后全班进行统计分析。我这里收集了张某同学试验统计的数据，请同学们看。统计表中抛掷次数由20次增加到40次、60次、80次、100次，同学们再看看正面的频率，有什么特点呢？
生：（观察后回答）……
师：通过统计表中的数据，抛掷一枚硬币正面朝上的可能性有多大？对所填表中的数据进行思考，当投掷一枚硬币的次数足够多时，出现的频率值怎么变化？它在哪一个常数附近摆动呢？这里有一段视频，能回答上面两个问题。
利用前面学习的列举法，可以计算掷骰子时某个事件发生的概率，但前提是骰子质地均匀，每个点数出现的概率相等。然而，有些赌徒为了作弊，会故意制作质地不均匀的骰子。这时，怎么得到骰子各个点数出现的概率呢？长期实践发现，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。所以，我们可以通过大量的重复实验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。抛硬币会产生最简单的随机结果，正面朝上或者反面朝上。历史上很多人都用频率的方法来估计正面朝上的概率。通过先辈们得出的数据可以看到，随着试验次数的增多，正面朝上的频率越来越接近于1/2，于是正面朝上的概率就可以被估计为1/2。
原来，当抛掷一枚硬币的次数足够多时，出现的频率将稳定在一个常数0.5附近。我们通常用这个频率值估计概率的近似值。历史上有许多毅力惊人的数学家都做了抛硬币试验，这里收集了4位数学家做的5次大量重复实验的数据。首先，同学们了解一下这四位数学家，他们分别是布冯、德摩根、费勒、皮尔逊。
请同学们看表格，随着试验次数的增多，正面向上的频率有什么特征呢？它们将稳定在哪个数附近呢？再来看一下折线统计图，图中描出的点分布有什么特征？
生：它们在0.5附近摆动。
师：四位数学家以惊人的毅力做了大量重复实验，给我们带来哪些启示呢？首先，大量重复实验能探索事件发生的规律，比如爱迪生发明灯泡，伽利略在比萨斜塔做试验，推翻了亚里士多德持续1900多年的错误结论。再者，科学家们不厌其烦、不怕苦、不怕累，真理至上的探索精神，值得我们学习。通过上面三次探究，我们获得以下新知：一般在大量重复实验中，随机事件A发生的频率m/n（n是试验总次数，必须相当大；m是在n次实验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数p，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)=p。