师：同学们，大家好。今天我们一起来学习上海科学技术出版社九年级下册第24章第四节直线和圆的位置关系第三课时。上节课我们学习了切线和切线的性质，现在一起来回顾一下。如图，直线l与圆O相切于点P，P为切点。根据前面所学知识，大家能回忆起关于切线的哪些结论呢？
首先是切线的定义，如果直线和圆只有一个公共点，这时直线和圆的位置关系叫做相切。这个定义既可以当做性质使用，也可以当做判定使用。不过直线与圆只有一个公共点这个结论比较形象直观，往往很难作为证明依据，所以在几何证明中很少使用切线的定义，但它是切线研究的基础，后面研究的切线其他性质都是由它延伸而来。比如，我们根据切线定义研究出切线的数量关系结论：圆心到直线的距离d等于半径r。
这条结论和定义具有互逆关系，或者说是等价关系，即已知直线是切线就能得到d等于r，反之，由d等于r就能得到直线l与圆O相切。这个数量关系d等于r，既可以作为切线的性质，也可以作为切线的判定。之后我们又由以上结论研究出切线另一个位置关系的结论，即切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。如图表示为，如果已知直线l与圆O相切，那么直线l就垂直于半径OP。
以上三点就是我们学习研究得出的切线相关结论，我们再来观察其中的逻辑关系。定义和数量关系d等于r是等价且互逆的。由数量关系d等于r，又可以推导出位置关系l垂直于OP，那么反之，由位置关系l垂直于OP，是否可以推导出d等于r呢？也就是数量关系d等于r和位置关系l垂直于OP是否也是等价或互逆的呢？如果这个猜想成立，那么我们就可以通过位置关系l垂直于OP来判定直线l是圆O的切线，切线的判定就会多一种证明方法。今天这节课，就和老师一起来验证这个猜想。性质和判定往往是互逆的。
在猜想切线的判定定理前，我们先分析一下性质定理的条件和结论。切线的性质定理文字语言表述为：圆的切线垂直于过切点的半径。结合图形，条件为直线l与圆O相切于点P，OP为半径；结论是l垂直于OP。如果要猜想切线的判定定理，我们可以将切线的性质定理的条件和结论互换。同学们和老师一起试试，将直线与圆O相切和l垂直于OP互换，就得到这样的猜想：如果直线l垂直于OP于点P，OP为半径，那么直线l就与圆O相切。接下来我们就要验证这个猜想。
验证猜想前，我们先通过画图的方法来看看猜想是否正确。请同学们准备好铅笔、直尺、圆规等文具，和老师一起来画。
例2，如图，点P为圆O上的任意一点，过点P作直线l与圆O相切。回忆一下刚才猜想中的条件和结论，思考作图步骤有哪几步，思考后写写看，再画画看，画好之后和老师的作图过程对比一下。
根据上面的猜想，判断圆的切线需要两个条件：第一，直线l垂直于OP；第二，OP为半径。所以我们的作图步骤为：第一，连接半径OP，此步骤是构造条件中的半径；第二，过点P作直线l垂直于OP，此步骤是构造垂直。从直观上看，直线l似乎是圆的切线。但我们知道直观不能说明一个命题的正确性，那么如何才能说明直线l就是圆O的切线呢？
同学们还记得课程开始前我们复习的切线的三个知识点，目前说明一条直线是圆的切线有两种方法：第一，根据定义说明直线l与圆O只有一个交点；第二，根据圆心到直线的距离d等于半径r，也能说明直线l是圆O的切线。请大家思考一下如何用这两种方法来说明直线l是圆O的切线，再看看老师的思考过程。
通过刚才的作图过程，我们可以发现OP既是半径，也是圆心O到直线l的垂线段，所以d等于r，也就是直线l是圆O的切线。当然我们也可以用定义法来说明，在直线l上，除P点外，任意取一点Q，连接OQ。根据垂线段最短，我们可知OP一定小于OQ，再根据点和圆的位置关系，P点在圆上，那么Q点一定在圆外，所以直线l与圆O就只有一个公共点P，即直线l是圆O的切线。
通过以上两种方法，我们验证了猜想的正确性。根据作图过程，我们发现切线的判定定理需要满足两个条件：首先要经过半径的外端点，其次要与半径垂直。所以切线的判定定理文字语言表述为：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理中的两个关键词“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，这两个条件是否缺一不可呢？我们来看几个对应的小练习，判断正误。
一、过半径外端点的直线是圆的切线吗？这个命题只有条件中的半径外端点，没有垂直这个条件。我们知道说明一个命题正确需要证明，但说明一个命题错误只需要举一个反例。你能在图中画出反例吗？请同学们自己试试，看看老师画的是否和你画的一样。如图，直线a经过半径的外端点P，不与半径OP垂直，它不是圆的切线，所以此命题错误。
二、与半径垂直的直线是圆的切线吗？此命题只有垂直这个条件，没有半径外端点这个条件。如图，直线b与半径垂直，不经过半径的外端点，它不是圆的切线，所以此命题错误。
三、过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线吗？如图，直线c和直线l都是经过半径的端点且与半径垂直，其中直线c不是圆的切线，所以此命题错误。
四、过直径的端点与直径垂直的直线是圆的切线吗？同学们再画画看。如图，将半径OP反向延长与圆相交于点Q，线段PQ即为直径。过直径的端点P和Q可以画出直线l与直线d与直径垂直，这两条直线分别经过半径OP、OQ的外端点，且与半径OP、OQ垂直，所以它们都是圆的切线，此命题正确。