师：同学们，今天我们一起学习圆周角。先看个示例，教练让球员在A、B、C处射门，球员所处位置对球门M、N分别形成三个张角∠MAN、∠MBN和∠MCN。这三个角大小有什么关系呢？当球员在A、B、C三处射门时，进球机会相同。从数学角度看，如果在A、B、C三处射门机会相同，可认为这三个张角相等，即∠A = ∠B = ∠C 。教练这种说法正确吗？学完今天课程就有答案。
首先复习圆心角概念，顶点在圆心的角叫圆心角。比如∠AOB为圆O的圆心角，它所对的弦为弦AB，所对的弧为弧AB。当角的顶点不在圆心，角的两边与圆的位置关系会出现哪些情况呢？看这几幅图，第一幅图，角的顶点在圆周，角的两边与圆还有两个交点；第二幅图，角的顶点在圆周，角的一边与圆还有一个交点，另一边没有交点；第三幅图，角的顶点在圆周，角的两边与圆不再有交点。我们把第一幅图中的角称为圆周角，由此得到圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆另有一个公共点的角叫做圆周角。比如图中∠ABC为圆O的圆周角。根据圆周角概念，圆周角应具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都和圆另有一个公共点。
学习了圆周角概念，来判断下列图中的角是不是圆周角，并说明理由。第一幅图中的角，顶点不在圆周上，不符合圆周角的第一个特征，所以它不是圆周角；第二幅图中的角，顶点同样不在圆周上，不符合圆周角第一条特征，所以也不是圆周角；第三幅图中，顶点在圆上，两条边与圆另有交点，符合圆周角的两个特征，所以这个角是圆周角；第四幅图中的角，顶点在圆上，因为角的两边是射线，与圆有交点，所以这个角也是圆周角；第五幅图中的角，顶点在圆周上，但其中一条边与圆没有交点，所以不是圆周角；第六幅图中的角，顶点在圆周上，两条边与圆不再有交点，所以也不是圆周角。
学习圆周角概念后，看这样一个特例。如图，三角形ABC是等边三角形，圆O是其外接圆，∠BAC = 60°，∠BOC = 120°，于是得到∠BAC = 1/2∠BOC 。若把等边三角形换成一般三角形，会怎样呢？任意画一个圆O及其内接三角形ABC，用量角器量出∠BAC = 53°，∠BOC = 106°，得出∠BAC = 1/2∠BOC 。现在保持BC不动，顶点A在圆周上运动，用量角器量∠BAC的度数。
当顶点A在圆周上运动时，∠BAC = 53°，∠BOC = 106°。继续移动顶点A，位置变化时，始终量出∠BAC = 53°，∠BOC = 106°。当顶点A运动到劣弧BC上时，测得∠BAC = 127°。由前面移动过程，猜想出结论：当点A在优弧上移动时，∠BAC = 1/2∠BOC 。
如何证明这个结论呢？以圆O上任意一点A为顶点的圆周角，按圆心与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：第一种，圆心O在∠BAC的内部；第二种，圆心O在∠BAC的一边上；第三种，圆心O在∠BAC的外部。下面分三种情况证明。
第一种情况，圆心O在∠BAC的一边上。因为OA和OC是圆O的半径，所以OA = OC，此时三角形OAC是等腰三角形，可得∠A = ∠C 。而∠BOC是三角形OAC的外角，所以∠BOC = ∠A + ∠C，即∠BOC = 2∠A，从而得到∠BAC = 1/2∠BOC 。
第二种情况，圆心O在∠BAC的内部。根据第一种情况证明思路，先连接并延长AO交圆O于点E。因为OA = OB，所以三角形AOB是等腰三角形。由第一种情况结论可得∠1 = 1/2∠3。同理，在虚线右侧，三角形AOC也是等腰三角形，所以∠2 = 1/2∠4。根据等式性质，∠1 + ∠2 = 1/2∠3 + 1/2∠4，即证明了∠BAC = 1/2∠BOC仍然成立。
第三种情况，圆心O在∠BAC的外部。依旧连接AO并延长交圆O于点E。OA = OB构成等腰三角形OAB，OA = OC构成等腰三角形OAC。由第一种情况结论可知∠1 = 1/2∠3，同理∠EAC = 1/2∠EOC 。利用等式性质，∠EAC - ∠1 = 1/2∠EOC - 1/2∠3，即∠BAC = 1/2∠BOC 。三种情况都证明得出∠BAC = 1/2∠BOC ，于是得到圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。如图，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，所以∠BAC = 1/2∠BOC 。
看例一，如图，BC是圆O的直径，A、D为圆上两点，∠AOC = 130°，则∠D等于多少度？点D在圆O上，∠D是弧AB所对的圆周角，弧AB所对的圆心角是∠BOA。因为BC是圆O的直径，所以∠BOC = 180°，又∠AOC = 130°，那么∠BOA = 50°。根据圆周角定理，∠D等于∠BOA的一半，所以∠D的度数是25°，答案选A。
接着看，如图，∠A、∠D是弧BC所对的两个圆周角，则∠A = ∠D 。证明一下，连接OB、OC。因为∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，∠A = 1/2∠BOC 。同理，∠D = 1/2∠BOC 。根据等式性质，可得∠A = ∠D 。于是得到结论：同弧所对的圆周角相等。如图，∠A、∠D、∠E、∠F都是弧BC所对的圆周角，构造出圆心角∠BOC，就能得到∠A = ∠D = ∠E = ∠F 。这样就能回答前面问题，教练让球员在A、B、C三处射门，A、B、C三个点都在圆周上，构成同弧MN所对的三个圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠A = ∠B = ∠C 。