师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起来学习沪科版初中数学九年级下册第二十四章圆第二小节圆的基本性质第四课时——圆的确定。2011年4月，六安发现两座战国时期古墓，考古人员在古墓中发现堪称国宝的青铜六山镜。如果这是其中一块残片，要将如图所示的破损圆盘复原，大家有什么办法吗？复原圆盘就是我们这节课要学的圆的确定问题。
首先，我们先来回顾直线的确定。过一个点A，可以做无数条直线；而过两个点A、B，却只能做一条直线。所以我们说两点确定一条直线。那么几点确定一个圆呢？我们来回顾构成圆的要素：圆心和半径。几点确定一个圆，其实就是探究过已知点作圆的问题。过已知点作圆，就是要找圆心，圆心找到了，圆心到已知点的距离就是半径，这样圆就能确定了。
我们先从一个点开始探究。请同学们拿出作图工具，自己作过一个点的圆，看看能画多少个，再观察圆心的位置。
生：（学生动手作图）
师：通过作图不难发现，过一个点的圆有无数个，圆心是这个点以外的任意一点。那过两个点A、B作圆，请同学们再画一画，观察圆心的位置。
生：（学生再次作图）
师：通过作图不难看出，过两个点可以画无数个圆，圆心在同一条直线上。这条直线其实就是AB的垂直平分线。因为过A、B两点圆的圆心，要到A点和B点的距离相等。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来说，到两个点距离相等的点必在这两个点构成线段的垂直平分线上。
通过作图我们发现，过一个点、过两个点都不能确定一个圆。经过三个点可以确定一个圆吗？平面内三个点的位置关系分两种：一种是三个点不在同一条直线上，另一种是三个点在同一条直线上，我们分别来探究。
下面我们先看不共线的情况。如图所示，A、B、C三个点能不能确定一个圆呢？根据两点找圆心的经验，过A、B两点圆的圆心要在线段AB的垂直平分线d上；过B、C两点圆的圆心要在线段BC的垂直平分线FG上。两条垂直平分线交于一点，我们记为O。因为O点在AB的垂直平分线上，所以OA = OB；O点又在BC的垂直平分线上，所以OB = OC。这样，O点到A点、B点、C点的距离相等。这时可以以O点为圆心，O到三个点中任意一个点的距离为半径作圆。这里垂直平分线的交点只有一个，所以圆心是唯一的，半径自然也是唯一的。于是我们得出这样的定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
“不在同一直线上”指的是这三个点的位置关系，“确定一个”指在数量上有且只有一个。那圆心在AC垂直平分线上吗？当然，因为OA = OC，只是为了作图简便，我们往往只需做两条线段的垂直平分线即可。
下面我们再来回顾不共线三点作圆的做法：
连接AB、BC；
分别作线段AB、BC的垂直平分线，设它们交于点O；
以点O为圆心，OB为半径作圆，则圆O即为所作。
不共线的三个点首尾顺次连接能构成一个三角形，不共线的三个点也能确定一个圆，这样就会得到一些概念。这个圆我们称之为三角形的外接圆，这个三角形我们称之为圆的内接三角形。这里“接”的意思是三角形的三个顶点在圆上，“外”和“内”分别指圆和三角形的位置关系，而圆心我们称之为三角形的外心。由作图可知，外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心有个重要的性质：到三角形三个顶点的距离相等。
是不是所有的三角形外心都在形内呢？请同学们作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，观察这些外接圆圆心在什么位置。
生：（学生动手作图）
师：通过作图不难看出，锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边的中点，这时连接OB可以得到OB = 1/2AC，这也再次验证了八年级所学的一个定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；而钝角三角形的外心在形外。不同的三角形外心的位置不同。
接下来我们看随堂练习，请同学们先思考下面命题，不正确的是：
A. 弦是圆中的线段。
B. 圆是曲线。
C. 弦是圆的一部分。
D. 弧是圆的一部分。
生：答案是C，弦是圆中的线段，圆是曲线，所以弦不是圆的一部分，弧才是圆的一部分。
师：三角形的外心具有的性质是：
A. 到三边的距离相等。
B. 到三个顶点的距离相等。
C. 外心在三角形外。
D. 外心在三角形内。
生：答案是B，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等。
师：接下来我们再回到情境中的问题，你能将这个破损的圆盘复原吗？要复原这个圆盘就是要找这个圆盘所在圆的圆心，根据不共线的三个点可以确定一个圆。可以在圆盘的外圆周任取三个点A、B、C，然后连接AB、BC，再做AB、BC的垂直平分线，这个交点为O，O就是我们要找的圆心，接下来以O点为圆心，OC长为半径作圆，这样圆盘就复原了。
我们再看练习三。已知Rt△ABC中，若∠C = 90°，AC = 5厘米，BC = 12厘米，求△ABC外接圆半径。
生：我们知道直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点，所以只要求出斜边的长度，半径就自然出来。根据勾股定理，得AB = √(AC2 + BC2) = √(52 + 122) = 13厘米，所以外接圆的半径为6.5厘米。