师：同学们好，今天我们一起学习 24.2 元的基本性质习题课的第二课时。在前面的学习中，我们已经了解了圆的基本性质。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等，这个定理叫做圆的关系定理。
通过这个定理，我们得到了圆的关系定理的推论。在关系定理中，题设分为前提和条件，前提是在同圆或等圆中，条件是圆心角相等，由此可得出：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。这样，在这四组量之间，我们得到了关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有任意一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，这就是圆的基本性质的关系定理及其推论。
那我们在习题中如何运用关系定理及关系定理的推论呢？来看这道题，如图，D 点、E 点是圆 O 半径 OA、OB 上的点，CD 垂直于 OA，CE 垂直于 OB，且 CD 等于 CE 。问弧 AC 与弧 BC 的关系是怎样的呢？同学们思考一下。
由关系定理可知，在同圆中，想要证明两条弧长相等，可以考虑证明弧所对的圆心角相等，或者证明弧所对的弦长相等。从图像观察，弧 AC 所对的圆心角是∠AOC，弧 BC 所对的圆心角是∠BOC。如果能证明∠AOC 等于∠BOC，就能得到弧 AC 等于弧 BC 。
那如何证明∠AOC 等于∠BOC 呢？由题目条件可知，CD 垂直于 OA，CE 垂直于 OB，我们连接 OC ，这样就得到两个直角三角形 OCD 与直角三角形 OCE 。根据题目条件，很容易得到 OC 等于 OC ，CD 等于 CE 。利用直角三角形的判定定理——斜边直角边定理，就可以得出直角三角形 OCD 全等于直角三角形 OCE ，进而证明∠COA 等于∠COB ，也就得到了两条弧所对的圆心角相等，最终得出弧 AC 等于弧 BC 。
下面来看证明过程：连接 OC ，因为 CD 垂直于 OA，CE 垂直于 OB，且 CD 等于 CE ，所以在直角三角形 OCD 与直角三角形 OCE 中，OC 等于 OC ，CD 等于 CE ，所以三角形 OCD 全等于三角形 OCE 。利用全等三角形的性质可知，∠1 等于∠2，即∠AOC 等于∠BOC ，所以弧 AC 等于弧 BC 。这道题我们是利用了相等的圆心角所对的弧长相等。
下面再看一道题，已知 A、B 为圆 O 的直径，点 M、N 分别为 OA、OB 中点，且 CM 垂直于 AB，DN 也垂直于 AB 。要证明弧 AC 等于弧 BD 。同样，由圆的基本性质的关系定理及其推论可知，要证明两条弧长相等，可以证明这两条弧所对的圆心角相等，或者证明这两条弧所对的弦长相等，或者证明这两条弧所对的弦心距相等。同学们想想怎么解决这个问题呢？
首先连接 OC、OD ，因为它们都是圆的半径，所以 OC 等于 OD 。由题目条件可知，OA 等于 OB ，又因为 M、N 分别为 OA、OB 的中点，所以 OM 等于 1/2 OA ，ON 等于 1/2 OB ，进而得到 OM 等于 ON 。在直角三角形 OCM 与直角三角形 ODN 中，有一组斜边 OC 等于 OD ，一组直角边 OM 等于 ON ，利用直角三角形的斜边直角边定理，可判断出直角三角形 OCM 全等于直角三角形 ODN 。
所以在直角三角形 CMO 与直角三角形 DNO 中，OC 等于 OD ，OM 等于 ON ，所以三角形 CMO 全等于三角形 DNO 。利用全等三角形的性质可知∠AOC 等于∠BOD ，证明了弧 AC 所对的圆心角 AOC 等于弧 BD 所对的圆心角 BOD 。再利用圆的基本性质的关系定理及推论，四组量中有任意一组量相等都能得到另外三组量相等，所以可判断出弧 AC 等于弧 BD 。
同学们还有其他办法解决这个问题吗？前面讲过，证明弧所对的圆心角相等可判断两条弧相等，也可以考虑弧所对的两条弦长相等。看方法二，连接 AC、BD、CO、DO 。因为 M 为 OA 的中点，N 为 OB 的中点，且 CM 垂直于 OA，DN 垂直于 OB ，所以 CM 是线段 OA 的垂直平分线，DN 是线段 OB 的垂直平分线。由垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，这样就得到了 AC 等于 OC ，BD 等于 OD 。又因为 OC、OD 为圆 O 的半径，所以证明了弧 AC 和弧 BD 所对的弦 AC 等于弦 BD 。