师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起来学习沪科版初中数学九年级下册第二十四章圆第二小节圆的基本性质，第三课时圆心角、弧、弦、弦心距间的关系。
前面我们学习了垂径定理，知道垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧，这是由圆的轴对称性得到的。那圆是轴对称图形，它会是中心对称图形吗？我们一起来回顾中心对称图形的定义：将一个图形绕着某个定点旋转180度后，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心。
大家思考一下，将圆绕圆心旋转180度后得到的图形与原图形重合吗？请看动图，发现能重合，说明圆是中心对称图形。如果将圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？再看演示。
对，仍与原来的圆重合，这说明圆不仅是轴对称图形、中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心为圆心。圆的旋转对称性是它的另一个重要性质。接下来我们就来探究它在圆中的运用。
如图，在圆O中，如果∠AOB = ∠A'OB'，那么弧AB与弧A'B'、弦AB与弦A'B'、弦心距OM与弦心距OM'有怎样的数量关系呢？请同学们先思考一下，我们来一起分析。
已知条件给的是两个等角，这两个角的顶点都在圆心，这样的角我们称之为圆心角，比如∠AOB、∠A'OB'。这里的弧AB与弧A'B'分别是∠AOB与∠A'OB'所夹的弧，我们称之为这两个圆心角所对的弧。弦AB与弦A'B'分别是∠AOB与∠A'OB'所夹的弦，我们称之为这两个圆心角所对的弦。而弦心距OM与弦心距OM'，分别是弦AB与弦A'B'上的弦心距，我们称之为这两个圆心角所对弦的弦心距。这里就是让我们探究，在同一个圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距有怎样的数量关系。
我们知道圆是旋转对称图形，可以把∠AOB连同弧AB一起绕着圆心O旋转一定的角度，使线段OA与线段OA'重合。请大家观察一下旋转后有什么发现呢？
生：我们发现旋转过后点A与点A'、点B与点B'、点M与点M'重合。
师：非常好，由圆的旋转对称性，在圆O中，如果∠AOB = ∠A'OB'，那么弧AB = 弧A'B'，弦AB = 弦A'B'，弦心距OM = 弦心距OM'，那这是为什么呢？我们来分析一下。
在旋转的过程中，两个旋转角∠AOA'、∠BOB'是相等的。因为这两个角都等于已知条件的等角加上共同的一个角∠A'OB。又因为OA、OA'，OB、OB'是圆的半径，它们相等，所以旋转过后，点A与点A'重合，点B与点B'重合，当然点M也与点M'重合。
用文字可以这样叙述：在同圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。那如果在等圆中，两个圆心角相等，上述的等量关系是否依然成立呢？请观看动图，通过平移将两个等圆变成同一个圆。
生：我们发现，如果∠AOB = ∠COD，那么弧AB = 弧CD，弦AB = 弦CD，弦心距OE = 弦心距OF。
师：很好，用文字可以这样叙述：在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
根据以上的探究，我们发现了圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。这里的条件是在同圆或等圆中，相等的圆心角；结论是所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
用数学语言可以这样表述，如图，由条件∠AOB = ∠A'OB'，可以推出弧AB = 弧A'B'，弦AB = 弦A'B'，弦心距OM = 弦心距OM'。那如果调换这里的条件和结论中的一个等量关系，是否依然成立呢？比如说把条件换成弧AB = 弧A'B'。由于圆是旋转对称图形，旋转过后各组对应点依然重合。我们可以得出，∠AOB = ∠A'OB'，弦AB = 弦A'B'，弦心距OM = 弦心距OM'。那如果把条件换成弦相等或者是弦心距相等，依然能推出另外三组等量关系吗？
生：当然可以。
师：于是我们得出这样的推论，在同圆或等圆中，圆心角相等，等价于弧相等，等价于弦相等，等价于弦心距相等。也就是说在同圆或等圆中，只要有一组量相等，就能推出另外三组量也相等，这就是以一推三。下面请同学们完成巩固练习一。
（同学们完成练习后）
师：我们一起来订正答案，你们都做对了吗？这题是对前面所学的定理及推论的巩固，知道在同圆中四组量中有一组量相等，其他三组量也相等，这也是我们今后在圆中求角等、弧等、线段等的依据。我们在叙述定理时总加前提“在同圆或等圆中”，这个条件能去掉吗？请同学们先思考，我们一起来探究。请看下图，这是课本练习2的第2小题。
这是两个同心圆，圆心角∠AOB与∠COD相等，但是弧AB与弧CD不等，弦AB与弦CD也不等。如果做弦心距的话，弦心距也不等，所以这个条件不可以去掉。
我们知道把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1度的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1度的弧。如图所示，1度的圆心角对应1度的弧，反过来1度的弧也对应着1度的圆心角。图中∠AOB = m度，弧AB的度数也等于m度，它们之间可以用等价于来表示，也就是说圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。这个可以用来在圆中求圆心角的度数或者是弧的度数。