师：同学们大家好，今天我们一起来学习圆的基本性质习题课第一课时。首先来复习一下垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。如图，因为CD是直径，CD垂直于AB，所以AE = BE，弧AC = 弧BC，弧AD = 弧DB。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，CD是直径，AE = BE，所以CD垂直AB，弧AC = 弧CB，弧AD = 弧DB。
下面我们一起来总结一下涉及垂径定理的辅助线添加方法。在圆中有关弦长a、半径r、弦心距d的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。
例如，如图所示，在等腰三角形AOB中，OA = OB，圆O与边AB交于C、D两点。求证AC = BD。同学们拿到这道题之后，可能会考虑能不能构造全等三角形来证明AC = BD。于是我们连接OC、OD。因为OC = OD，所以∠OCD = ∠ODC，这样它们的邻补角∠OCA = ∠ODB。又因为OA = OB，所以∠A = ∠B，这样三角形AOC就全等于三角形BOD。
下面我们一起来看一下这道题的证明过程。连接OC、OD，因为OC = OD，所以∠OCD = ∠ODC，所以∠OCA = ∠ODB。又因为OA = OB，所以∠A = ∠B，所以三角形AOC ≌ 三角形BOD，所以AC = BD。
这道题除了利用构造全等三角形以外，有没有其他方法呢？有的同学考虑利用垂径定理来证明。我们可以过O作OE垂直于AB于E点，此时OE垂直CD，所以根据垂径定理可得CE = DE。又因为OA = OB，根据三线合一可得AE = BE。所以AE - CE = BE - DE，就可以得到AC = BD。
下面我们看一下这道题的证明过程。过点O作OE垂直AB于E点，由垂径定理得CE = DE。又因为OA = OB，所以AE = BE，所以AE - CE = BE - DE，即AC = BD。
例2，如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD。
第一小题，求证BC = BD。拿到这道题，我们首先来分析一下题目的已知条件。因为AB是直径，CD垂直于AB，所以根据垂径定理可以得到CH = DH。这样一来，AB就是CD的垂直平分线，所以BC = BD。
第二小题，已知CD = 6，求圆O的半径长。我们连接OC构造直角三角形OCH。在直角三角形OCH中，我们假设OC为r。根据已知条件CD垂直平分OA，所以OH = 1/2 r。再根据第一小题，得CH = 1/2 CD，所以CH = 3。这样根据勾股定理可以列方程解出相应的r。
下面我们看一下这道题的解题过程。
第一小题，因为AB是圆O的直径，且AB垂直CD，所以CH = DH，所以AB垂直平分CD，所以BC = BD。
第二小题，连接OC，因为CD垂直平分OA，假设圆O的半径为r，则OH = 1/2 r。因为CD = 6，所以CH = DH = 3。因为∠CHO = 90°，所以OH2 + CH2 = CO2，即(1/2 r)2 + 32 = r2，解得r = 2√3。
例3，如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中的弧CD，点O是弧CD的圆心，其中CD = 600米，E为弧CD上一点，且OE垂直CD，垂足为F，EF = 90米。求这段弯路的半径。我们连接OC，构造直角三角形OCF。我们假设OC为r，则OE也等于r，所以OF = OE - EF = r - 90。又根据垂径定理，CF = 1/2 CD，所以CF = 300。这样我们在Rt三角形OCF中利用勾股定理即可求解。
下面我们一起看一下这道题的解题过程。连接OC，设这段弯路的半径为r，则OF = r - 90。因为OE垂直CD，所以CF = 1/2 CD = 300。根据勾股定理，OC2 = CF2 + OF2，即r2 = 3002 + (r - 90)2，所以r = 545，所以这段弯路的半径为545米。
例4，如图，某条河上有一座圆弧形拱桥，A、C、B。桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度是2.4米。现在有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面两米的货船要经过这里。问这艘船能否通过这座拱桥，并说明理由。
如图，此船沿着中心OC方向前进，对船最有利。那么这时我们只需求出FN的长度即可。如果FN的长度大于2，那么这个船就可以通过；反之则不可以通过。
我们连接OA和ON构造直角三角形OAD和OHN。在Rt三角形OAD中，我们假设OA为r，则OD可以用r来表示。AD的长度等于AB的一半，所以根据勾股定理可以建立方程并求出r的值。然后在Rt三角形OHN中，半径ON刚才已经求出来了，HN = MN的一半，所以可以根据勾股定理求出OH的长度，此时即可得到DH的长，也就是FN的长度。