师：亲爱的同学，你好，很高兴能和你一起开启今天的数学课堂。上课前，请准备好上海科学技术出版社九年级上册的数学课本，以及本节课配套的学习任务单和学习用品。我们已经学过一次函数，还记得学习函数的主要思路吗？我们先学习函数的概念，了解什么是一次函数，再学习一次函数的图像与性质，最后学习一次函数在实际生活中的应用。那你还记得什么是二次函数吗？表达式形如$y = ax2 + bx + c$（$a$、$b$、$c$是常数，且$a≠0$）的函数就是二次函数。这里$b$和$c$可以为$0$吗？当$b$和$c$为$0$时，函数解析式变为$y = ax2$，依然是二次函数。
按照研究函数的思路，知道函数解析式后，接下来就要学习它的图像和性质。类比一次函数的学习方法，回忆一下，我们是如何得到一次函数$y = kx + b$的图像的呢？我们通过描点法，先画出正比例函数$y = kx$的图像，再画出一次函数的图像，之后分析对比出一次函数图像与正比例函数图像的关系，这种从特殊到一般的方法，也是我们学习数学问题常用的分析思路。
对于二次函数的图像，我们也从最简单的二次函数开始研究。你能给出一个你认为最简单的二次函数解析式吗？比如$y = x2$，老师很赞同，因为这个二次函数的一次项系数和常数项都为$0$，二次项系数为$1$，确实非常简洁。那这个最简单的二次函数的图像是怎样的呢？让我们一起来探索。你能画出二次函数$y = x2$的图像吗？描点法的三步骤是列表、描点、连线。在列表时，要如何取自变量的值呢？函数$y = x2$自变量的取值范围是全体实数。为了让取的自变量更有代表性，我们以$0$为中心选$x$的一些值来列表，比如取$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$。
请将表格填写完整，观察表格，你有什么发现？我们发现当$x$互为相反数时，函数值相同。比如当$x = -3$和$3$时，对应的函数值都是$9$。当我们将表格中$x$、$y$的数值在平面直角坐标系中描点之后，会发现一些点的位置很特殊，如$(-3,9)$和$(3,9)$这两个点关于$y$轴对称，$(-2,4)$和$(2,4)$、$(-1,1)$和$(1,1)$也同样关于$y$轴对称，这说明$y = x2$的图像和一次函数的图像完全不同。同学们思考一下，当描出这$7$个点之后，相邻两点间能用线段来连接吗？通过计算再取更多的点，我们会发现，用描点法做函数图像时，点越多越能看出函数图像的趋势。当取的点越来越多、越来越密时，这些点在一条曲线上。因此，我们用平滑的曲线顺次连接各点，并且因为自变量取值范围为全体实数，所以左右两端要出头，这样就得到了二次函数$y = x2$的图像。
请认真观察二次函数$y = x2$的图像，回答下列问题：
图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？不难发现，二次函数$y = x2$的图像是轴对称图形，它的对称轴是$y$轴。因为函数解析式是$y = x2$，当$x$互为相反数时，对应的函数值相同，这样对应的$(x,y)$描出的一组点就是关于$y$轴对称的，由这样一组关于$y$轴对称的点所组成的图形一定是关于$y$轴对称的。
图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？观察图像，原点就是图像的最低点。图像是上升还是下降的呢？曲线在$y$轴左侧是下降的，在$y$轴右侧是上升的。
总结一下，函数$y = x2$的图像有以下四个特点：
图像开口向上，无限延伸。
图像的对称轴是$y$轴。
图像有最低点，即原点，这个最低点是对称轴与图像的交点，我们称它为顶点。
在$y$轴左侧图像下降，在$y$轴右侧图像上升。
我们一般从开口方向、对称轴、顶点、升降趋势来描述二次函数的图像。通过上述观察，可以这样说，函数$y = x2$的图像是一条关于$y$轴对称，在$y$轴左侧下降，在$y$轴右侧上升的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线。同学们看过打篮球吗？当篮球抛出后，球会在空中划出一道美丽的弧线。二次函数$y = x2$的图像形如物体抛射时所经过的路线，所以我们把它叫做抛物线。因此，函数$y = x2$的图像可以简称为抛物线$y = x2$。在画图时，老师给大家两点提示：用描点法画抛物线时至少要取$5$个点，并将顶点居中。
接下来，请你利用学习任务单上的方格纸，暂停一下，在同一平面直角坐标系中画出函数$y = \frac{1}{2}x2$、$y = 2x2$的图像。我们取$7$个自变量的值，把$0$放在中间，列表如下，描点连线之后，得到两个函数的图像。你画对了吗？
观察函数$y = \frac{1}{2}x2$、$y = 2x2$的图像与函数$y = x2$的图像，它们有什么共同点和不同点呢？这三条抛物线都符合$y = ax2$的形式，二次项系数都大于$0$。从图像上看，它们的共同点是：开口都向上，对称轴都是$y$轴，顶点都是原点，而且顶点都是抛物线的最低点，在$y$轴左侧图像下降，在$y$轴右侧图像上升。这三条抛物线的特征居然都一样，我们可以归纳出$y = ax2$（$a > 0$）时，它的图像都是这样。那它们的不同点是什么呢？对，只有开口大小不一样。$y = 2x2$最靠近$y$轴，我们可以说$y = 2x2$的图像开口最小；$y = \frac{1}{2}x2$距离$y$轴最远，也就是说$y = \frac{1}{2}x2$的开口最大，这是一个开口由大变小的过程。
老师给大家一个有挑战的问题：三条抛物线的开口大小不同，那么抛物线的开口大小与二次项系数有什么关系呢？思考一下，三个抛物线解析式中，二次项系数分别是$\frac{1}{2}$、$1$、$2$，当二次项系数从$\frac{1}{2}$逐渐变大到$2$时，图像越来越接近$y$轴，抛物线的开口也越来越小。其实当$a$越大时，相同自变量对应的函数值也会越大。例如，$x = 1$时，$y = \frac{1}{2}x2$对应的函数值是$\frac{1}{2}$，$y = x2$对应的函数值是$1$，$y = 2x2$对应的函数值是$2$。$x = 1$时，$y$的值分别是$\frac{1}{2}$、$1$、$2$，越高的点组成的开口就会越小。下面我们来看几何画板的演示。
同学们请看，这条抛物线的二次项系数此时为$0.1$，当$a$逐渐变大时，抛物线的开口越来越小，越来越接近于$y$轴。因此，我们可以得出结论：一般地，当$a > 0$时，$a$越大，抛物线的开口越小，你理解了吗？接下来你能根据函数$y = ax2$图像的共同特点总结出它的性质吗？此时$a > 0$。
第一个特点，图像沿$x$轴方向无限延伸，说明自变量$x$的取值范围是全体实数。
第二个特点，图像是轴对称图形，对称轴是$y$轴，这意味着当两个点纵坐标相同时，横坐标互为相反数。对于函数解析式来说，即当$x$取$x$和$-x$时，函数值相同。
第三个特点，函数的顶点是$(0,0)$，顶点也是最低点，这说明函数具有怎样的性质呢？最低点说明函数值最小，也就是说当$x = 0$时，函数取得最小值是$0$。又因为抛物线开口向上，除原点外，图像都在$x$轴上方，所以$y$（即函数值）始终大于等于$0$，而且函数没有最大值。
最后一个特点，在$y$轴左侧图像下降，在$y$轴右侧图像上升，这说明什么呢？说明当$x < 0$时，函数$y$随$x$的增大而减小；当$x > 0$时，函数$y$随$x$的增大而增大。
我们将以上分析总结在一个表格中，请同学们暂停一下，阅读课本第$8$页，加深对上述知识的理解。接下来我们研究$a < 0$的情况，请你利用学习任务单上的方格纸，在同一个平面直角坐标系中画出函数$y = -x2$、$y = -\frac{1}{2}x2$以及$y = -2x2$的图像，类比之前的分析思路，总结这些抛物线的图像特征。
列表、描点、连线之后，我们可以得到三个函数图像，你画对了吗？可以发现抛物线此时的共同点有：开口都向下，对称轴都是$y$轴，顶点依然是原点$(0,0)$，但此时顶点是抛物线的最高点，在$y$轴左侧图像都上升，在$y$轴右侧图像都下降。不同点是什么呢？抛物线的开口大小依然不同，此时抛物线的开口大小与二次项系数又有什么关系呢？请思考一下。
三个抛物线解析式中，$a$分别是$-2$、$-1$、$-\frac{1}{2}$。当$a$从$-\frac{1}{2}$逐渐减小到$-2$时，抛物线的开口越来越小。我们猜想一下，当$a < 0$时，$a$越小，$|a|$越大，相同自变量的值，函数值所对应的绝对值越大，图像下降得就越快。比如说$y = -\frac{1}{2}x2$，当$x = 1$时，对应的函数值是$-\frac{1}{2}$；$y = -x2$对应的函数值是$-1$；$y = -2x2$对应的函数值是$-2$。所以$x = 1$时，这三个点高低不同，这样的点连线，图像下降得就会越快，图像的开口就会越小。我们来看几何画板的演示。
同学们请看，这条抛物线的二次项系数为$-0.1$，当改变其二次项系数，$a$的值越来越小时，抛物线的开口越来越小，也越来越接近于$y$轴。因此我们可以得到结论：一般地，当$a < 0$时，$a$越小，抛物线的开口就越小。
现在我们学习完了$y = ax2$的图像和性质，总结一下：当$a > 0$时，$a$越大，抛物线的开口越小；当$a < 0$时，$a$越小，抛物线的开口越小。总结成一句话，即$|a|$越大，抛物线的开口越小。
现在我们来梳理一下，请你完成学习任务单上的图像特征表格和函数性质表格，然后一起总结。首先，二次函数的图像是一条抛物线，图像特征如下：当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。它们的对称轴都是$y$轴，顶点都是原点。但当$a > 0$时，顶点是最低点；$a < 0$时，顶点是最高点。图像在$a > 0$时，先下降再上升；当$a < 0$时，先上升再下降。
再来看函数的性质。当$a > 0$和$a < 0$时，函数都关于$y$轴对称，即$x$互为相反数时，函数值相同。$a > 0$时，图像的最低点反映为函数最小值为$0$；$a < 0$时，图像的最高点反映为函数最大值为$0$。$a > 0$时，$x < 0$，$y$随$x$的增大而减小；$x > 0$，$y$随$x$的增大而增大。反之，$a < 0$时，$x < 0$，$y$随$x$的增大而增大；$x > 0$，$y$随$x$的增大而减小。
你都填写对了吗？如果都填写正确，说明你已经很好地掌握了本节课的内容。我们进一步对比这节课得到的$6$个函数图像，仔细观察图像位置和系数之间还有其他联系吗？可以看到，抛物线$y = x2$与$y = -x2$，$y = \frac{1}{2}x2$与$y = -\frac{1}{2}x2$，还有$y = 2x2$和$y = -2x2$，它们的图像都是关于$y$轴对称的，也就是说两两之间的抛物线形状相同，但开口方向相反。
我们用字母总结一下，即抛物线$y = ax2$与抛物线$y = -ax2$的图像关于$x$轴对称，$|a|$决定抛物线的开口大小，$a$的符号决定抛物线的开口方向。请大家将这个规律填写在学习任务单上。
接下来看例题，看看你掌握得怎么样。例1：分别写出抛物线$y = 4x2$与$y = -\frac{1}{4}x2$的开口方向、对称轴及顶点坐标。
因为$y = 4x2$的二次项系数为$4 > 0$，所以抛物线$y = 4x2$开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标是原点。而$y = -\frac{1}{4}x2$中$a < 0$，所以它开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标也是原点。你能快速画出这两个函数的示意图吗？根据分析，$y = -\frac{1}{4}x2$的开口较大，$y = 4x2$的开口较小。
再来一道练习，已知下列二次函数：$y = -x2$，$y = 15x2$，$y = -4x2$，$y = 4x2$。其中开口向上的有哪些？反应快的同学应该已经抢答出来了，是第二个和第四个，因为它们的$a$都大于$0$。有最高点的又是哪些呢？对，是第一个和第三个，它们的$a$小于$0$。其中开口向下且开口最大的是谁？对，是第一个，因为此时它的$|a|$最小，并且$a < 0$，你答对了吗？
再来看例2：抛物线$y = ax2$经过点$(-1,2)$，能求出$a$的值是多少吗？我们将$(-1,2)$代入其中，可得方程$2 = a×(-1)2$，所以此时$a$的值是$2$。
那么对于抛物线$y = 2x2$来说，它的对称轴是什么？对，是$y$轴，开口向上，它的顶点坐标是多少呢？顶点坐标为原点，顶点是此时抛物线的最小值点。抛物线在$x$轴上方，这些都考察了我们函数的性质。那么如果点$A(x_1,y_1)$，点$B(x_2,y_2)$在这条抛物线上，并且$x_1 < x_2 < 0$，$y_1$和$y_2$谁比较大呢？对，$y_1 > y_2$，因为$x_1$、$x_2$都在$y$轴左侧，根据函数的增减性，$y$随$x$的增大而减小，所以$x_1 < x_2$时，$y_1 > y_2$。
你答对了吗？好，本节课学到这里，我们来总结一下。我们是如何得到二次函数$y = ax2$（$a≠0$）的图像的？画图时要注意什么呢？我们通过描点法得到二次函数的图像是一条抛物线，画图时要注意一般取$5$个点以上，并且将顶点的自变量在列表时居中。对于本节课的$y = ax2$，一般将原点对应的$0$居中。
第二个问题，抛物线$y = ax2$的图像有哪些特征？当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。它们的对称轴都是$y$轴，顶点都是原点。$a > 0$时，顶点是最低点；$a < 0$时，顶点是最高点。$a > 0$时，图像先下降再上升；$a < 0$时，图像先上升再下降。
我们还进一步总结出$|a|$决定抛物线的开口大小，$|a|$越大，抛物线的开口越小，因为此时抛物线增长得越快；$a$的符号决定抛物线的开口方向。再来看看抛物线$y = ax2$有哪些性质呢？当$a > 0$和$a < 0$时，函数都关于$y$轴对称，即$x$互为相反数时，函数值相同。$a > 0$时，当$x = 0$，函数取得最小值$0$；$a < 0$时，当$x = 0$，函数取得最大值$0$。并且$a > 0$时，$x < 0$，$y$随$x$的增大而减小；$x > 0$，$y$随$x$的增大而增大。$a < 0$时，情况相反。
今天我们从最简单的二次函数开始，学习了$y = x2$的函数图像与性质，了解到一般从开口、顶点、对称轴、升降趋势来描述函数的特征，从对称性、最值、增减性来描述函数的性质。如果我添加一个常数，比如$1$，$y = x2 + 1$的图像会是什么样呢？你可以自己先试试看。
最后是本节课老师留给你的课堂作业，必做题帮助你夯实基础，选做题帮助你提升思维，还有一个有趣的信息实践作业，快来试一试，尝试走进有趣的几何画板世界吧。好了，本节课就学到这里，很高兴与你相遇，希望老师的讲解能对你有所帮助，让你爱上数学。再见。