师：各位同学，大家好，欢迎进入今天的数学课堂。前面我们已经学过人教版数学九年级下册第26章反比例函数的相关知识，本节课我们将对这一章进行复习与小结。首先，我们来看本章知识结构图，它呈现了所学知识的内在联系。数学源于生活且应用于生活，现实世界存在诸多反比例关系，我们将其归纳抽象为反比例函数(y = \frac{k}{x})，进而研究它的图像和性质，最终应用于实际，解决现实中反比例关系的问题。
接下来，我们梳理本章知识要点。同学们还记得反比例函数的概念吗？一般地，形如(y = \frac{k}{x})（(k)为常数，(k \neq 0)）的函数叫做反比例函数，其中(x)是自变量，(y)是函数。这里要注意两点：一是自变量(x)的取值范围是不等于(0)的一切实数；二是反比例函数还有其他形式，比如(y = k \cdot x^{-1})，以及(xy = k)（(k \neq 0)）。我们知道反比例函数的图像是双曲线，那它有哪些性质呢？下面我们一起来填表。
反比例函数的解析式为(y = \frac{k}{x})，我们分(k > 0)和(k < 0)两种情况。当(k > 0)时，大致图像位于第一、三象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而减小；当(k < 0)时，大致图像位于第二、四象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而增大。同学们都记住了吗？
反比例函数的图像对称吗？通过前面的学习，我们知道它既是轴对称图形，又是中心对称图形。它有两条对称轴，分别是直线(y = x)和直线(y = -x)，对称中心是原点。
反比例函数(y = \frac{k}{x})解析式中的(k)叫做比例系数，这个(k)与几何图形的面积密切相关。下面我们复习(k)的几何意义。过双曲线(y = \frac{k}{x})（(k \neq 0)）上一点(P(m,n))，分别作(x)轴、(y)轴的垂线，垂足分别为(A)、(B)。则矩形(OAPB)的面积等于(|OA| \times |AP| = |m| \times |n| = |k|)。
设(P(m,n))是双曲线(y = \frac{k}{x})（(k \neq 0)）上任意一点，过(P)点作(x)轴或(y)轴的垂线，垂足为(A)。则(\triangle OAP)的面积等于(\frac{1}{2}|OA| \times |AP| = \frac{1}{2}|m| \times |n| = \frac{1}{2}|k|)。
接下来，我们运用刚才复习的知识点来解决几个例题。
例一：若(y = -3x^{a + 1})是(x)的反比例函数，求(a)的值。
根据反比例函数的其他形式(y = k \cdot x^{-1})，我们知道本题中(a + 1)应等于(-1)，从而解得(a = -2)。
例二：如图，过反比例函数(y = \frac{k}{x})图像上一点(P)作(PA)垂直(x)轴于点(A)，若(\triangle POA)的面积为(6)，求(k)的值。
根据(k)的几何意义，我们知道(\triangle POA)的面积等于(\frac{1}{2}|k| = 6)，所以(|k| = 12)。要注意，当反比例函数的图像在第二、四象限时，(k)应小于(0)，所以本题中(k = -12)。
例三：函数(y = kx - k)与(y = \frac{k}{x})（(k \neq 0)）的图像大致是下面哪个选项？
由于两个函数解析式都含有相同的系数(k)，我们可以对(k)的正负性进行分类讨论，从而得出符合题意的答案。
先看(A)选项，该选项中的一次函数经过一、二、四象限，所以对应的(k)应小于(0)；反比例函数图像位于第一、三象限，所以(k)应大于(0)，相互矛盾，所以(A)选项错误。
(B)选项，一次函数图像经过一、三、四象限，所以(k)大于(0)，但反比例函数图像位于第二、四象限，所以(k)小于(0)，矛盾，所以(B)选项也错误。
(C)选项，由一次函数的增减性可知(k)大于(0)，一次函数与(y)轴的交点位于(y)轴正半轴，从而得出(-k)应大于(0)，则(k)小于(0)，矛盾，所以(C)选项也错误。
所以本题正确的选项应为(D)。
例四：在反比例函数(y = \frac{k - 1}{x})的图像的每一支上，(y)都随(x)的增大而减小。图像上有三点(( - 4,y_1))，(( - 1,y_2))，((3,y_3))，求函数值的大小关系。
我们可以先在图像中描出这三点。由图像可知，(( - 4,y_1))和(( - 1,y_2))在第三象限，则(y_1 < 0)，(y_2 < 0)。根据函数性质可知(y_2 < y_1)。((3,y_3))在第一象限，则(y_3 > 0)。所以函数值的大小关系为(y_2 < y_1 < y_3)。同学们，以后遇到比较函数值大小关系的问题，如果它们位于同象限，我们可以根据函数的增减性来判断；如果它们位于不同象限，我们可以根据函数值的符号来确定。
例五：已知反比例函数(Y_1 = \frac{k}{x})的图像与一次函数(Y_2 = ax + b)的图像交于点(A(1,4))和点(B(m, - 2))。
第一小问：求这两个函数的关系式。请同学们按下暂停键完成第一小题。
欢迎回来，我们继续讲解例五。想要求函数的解析式，我们要用到待定系数法。求反比例函数(Y_1)的解析式，只需代入已知点(A)即可；求一次函数(Y_2)的解析式，则需要代入(A)、(B)两点的坐标。本题中(B)点坐标未知，所以要先将(B)点代入反比例函数解析式中，求出其坐标，再代入(Y_2)的解析式。下面我们来看解题过程。
把(A(1,4))代入(Y_1 = \frac{k}{x})得(4 = \frac{k}{1})，解得(k = 4)，所以(Y_1 = \frac{4}{x})。把(B(m, - 2))代入(Y_1 = \frac{4}{x})中，解得(m = - 2)，所以点(B)的坐标为(( - 2, - 2))。再把(A(1,4))和(B( - 2, - 2))代入(Y_2 = ax + b)，得到关于(a)、(b)的二元一次方程组，从而解得(a = 2)，(b = 2)，所以(Y_2 = 2x + 2)。同学们，你做对了吗？
第二小问：观察图像，写出使得(Y_1 > Y_2)成立的自变量(x)的取值范围。
我们知道(Y_1 > Y_2)对应着反比例函数图像在一次函数图像上方部分对应的自变量(x)的取值范围。从图中可知，一次函数与反比例函数在第三象限相交于点(B( - 2, - 2))，在点(B)左侧区域，反比例函数图像都位于一次函数图像上方，对应的(x)应小于(- 2)；一次函数与反比例函数在第一象限中交于点(A(1,4))，在点(A)左侧，(y)轴右侧，反比例函数图像也位于一次函数图像上方，对应的(x)大于(0)小于(1)。所以本题自变量(x)的取值范围为(x < - 2)或(0 < x < 1)。
第三小问：求(\triangle ABO)的面积。
我们首先连接(AO)、(BO)形成(\triangle ABO)。根据三角形面积公式(S = \frac{1}{2} \times)底(\times)高，通过观察发现，无论选择(\triangle ABO)的哪一条边作为底，都不太容易求出面积，所以我们要用割补法来求。我们发现一次函数与(x)轴相交于一个点，记为点(D)，其坐标未知。(OD)将(\triangle ABO)分成了两个三角形，所以(\triangle ABO)的面积可以表示成(\triangle AOD)的面积加上(\triangle BOD)的面积。这两个三角形我们都可以选择(OD)作为底，根据(A)、(B)两点的坐标表示出它们的高。关键是要求出点(D)的坐标，下面我们来看解题过程。
把(y = 0)代入(Y_2 = 2x + 2)，得(2x + 2 = 0)，解得(x = - 1)。所以点(D)的坐标为(( - 1,0))。那么(\triangle ABO)的面积等于(S_{\triangle AOD} + S_{\triangle BOD})。选择(OD)作为底为(1)，(\triangle AOD)的高是(A)点纵坐标的绝对值(4)，(\triangle BOD)的高为点(B)纵坐标的绝对值(2)，所以等于(\frac{1}{2}×1×4 + \frac{1}{2}×1×2 = 3)。
同学们，你们听明白了吗？最后，我们回顾一下本节课的所学内容：反比例函数的概念及其他形式；反比例函数的图像和性质；反比例函数的对称性；反比例函数中(k)的几何意义；利用反比例函数的图像和性质解决数学问题和实际问题。
最后是今天的作业，请同学们完成复习题26的第2、11两小题。今天的课程到此结束，谢谢大家。再见。