师：同学们好，今天我们学习三视图的第四个课时。三视图是本章核心内容，它从两个方面反映了平面图形与立体图形的联系。第一、二课时学习了三视图的概念规则，以及画几何体的三视图，这是由立体图形得到平面图形的过程，经历了由物画图；第三课时学习了由三视图想出物体的形状，这是由平面图形得到立体图形的过程，经历了由图想物。下面我们通过解决一个问题来复习相关知识。
如图所示，是一个立体图形的三视图。一，请根据视图说出立体图形的名称，并画出它的展开图。
根据画三视图的位置关系可知，第一个图是主视图，其右边是左视图，下面是俯视图。主视图和左视图都是长方形，由此可推断该立体图形是柱体，而俯视图是三角形，所以可判断出该立体图形是三棱柱。主视图长方形中间有一条实线，说明从前往后看这一条棱是看得见的。综合以上因素，我们得到如图所示的立体图形三棱柱。我们把它沿着棱AB、aC、aD、bE、bF分别剪开，再把它的表面展开成一个平面图形，就得到如图所示的展开图。
请指出三视图、立体图形、展开图之间的对应边。由画三视图的大小关系可知，“长对正”指主视图和俯视图的长对正，它反映了立体图形左右之间的距离，在展开图中的对应边用黄色线标注；“高平齐”指主视图和左视图的高平齐，它反映了立体图形上下之间的距离，在展开图中的对应边用蓝色线标注；“宽相等”指左视图和俯视图的宽相等，它反映了立体图形前后之间的距离，在展开图中的对应边用红色虚线标注。当然图中还有其他对应边，在此就不一一叙述了。
同学们，如果在三视图中给了一些边或角的数据，那么我们就能进行三棱柱哪些相关量的计算呢？在实际生活中，我们经常研究一个几何体的面积和体积，那么根据几何体的三视图能否求出几何体的面积和体积呢？本节课我们就来研究由物体的三视图求其立体图形的面积和体积问题。通过本节课的学习，我们将完成以下学习目标：
一、由三视图想象出物体原来几何体的形状，再画出几何体的展开图，培养空间想象能力，发展空间观念，这是本节课的学习难点。
二、由三视图想象出立体图形后，能进行面积或体积的计算，这是本节课的学习重点。
三、了解将三视图转化为立体图形在生产中的作用，体会三视图的使用价值。
下面我们来看一个例题，某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图。请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积，图中的尺寸单位为毫米，结果取整数。要求确定制作每个密封罐所需钢板的面积，实际上就是求每个密封罐的表面积。所以解决本题的思路是：
一、先由三视图想象出密封罐的立体形状。
二、再画出物体的展开图。
三、最后计算面积。
观察三视图，主视图和左视图都是长方形，我们猜想该密封罐是柱体，俯视图是正六边形，可推断该密封罐是正六棱柱。主视图长方形中间有两条实线，这是轮廓线，说明从前往后看，这两条棱是看得见的；左视图长方形中间有一条实线，说明从左往右看，这一条棱是看得见的。综合以上分析，我们得到如图所示的正六棱柱。
结合三视图标注的数据，我们可知正六棱柱的高为50毫米，上下底正六边形的边长为50毫米，其直径是100毫米。接下来思考如何画出它的展开图，我们把正六棱柱沿着某些棱适当剪开，再把它的表面展开成如图所示的平面展开图。
观察展开图可知，这个正六棱柱的表面积等于6个全等的正方形的面积加上两个全等的正六边形的面积之和。正方形边长是50毫米，因此一个正方形的面积是50×50，6个正方形面积为50×50×6。
那么正六边形的面积如何求呢？我们取一个正六边形的中心为点O，把正六边形相邻两个顶点分别标上A和B，再分别连接OA、OB，就得到三角形OAB。正六边形的直径是100毫米，所以它的半径就是50毫米，即OA、OB都是50毫米，边长AB也是50毫米，所以三角形OAB是等边三角形。利用三角函数可求出高OC = 50×sin60°，从而求出三角形OAB的面积 = 1/2×50×50×sin60°。一个正六边形由6个全等的这样的等边三角形构成，所以一个正六边形的面积为1/2×50×50×sin60°×6，两个正六边形面积为1/2×50×50×sin60°×6×2。最后把两部分面积加起来，得到该正六棱柱的表面积。题目要求结果取整数，经计算约等于27,990平方毫米，即制作每个密封罐所需钢板的面积约为27,990平方毫米。
回顾刚刚的解题过程，我们小结一下。首先经历了三种图形的转换，由三视图想出物体的立体图形，再由立体图形画出它的展开图，这三种图形是可以相互转换的。进而得出由三视图求立体图形面积的方法：
一、先将给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长宽高。
二、再将立体图形沿着一些线剪开，把立体图形的表面展开成一个平面图形，观察它的组成部分。
三、最后综合考虑整体图形的形状，根据已知数据，结合图形的面积计算方法求出展开图的面积。
下面我们进行一个随堂练习，如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是多少？请同学们思考一下。
首先要经历由三视图想出立体图形，观察它的俯视图是一个圆，圆中间有一个点，我们猜想该几何体有一部分可能是圆锥；再观察主视图和左视图，上面都是三角形，可推断该几何体的上方是圆锥；主视图和左视图的下方都是正方形，结合俯视图是圆，可推断该几何体的下方是圆柱。综合以上因素，可知该几何体是组合体，上面是圆锥，下面是圆柱。
由三视图标注的数据，我们可获得该圆柱底面圆的直径是2厘米，圆柱的高2厘米，圆锥的高√3厘米。接着画它的展开图，同学们知道圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的底面展开图是圆，所以得到如图所示的展开图。同学们发现该圆锥的侧面展开图是一个半圆，这是因为由本题所给数据，可计算推出该圆锥的侧面展开图恰好是个半圆。
由展开图可知，几何体的表面积由三部分组成：圆柱的底面积 + 圆柱的侧面积 + 圆锥的侧面积。圆柱的底面是圆，直径2厘米，半径是1厘米，所以圆柱的底面积 = π×12 = π；圆柱的侧面展开图是矩形，矩形面积 = 长×宽，长是底面圆的周长，直径2厘米，周长是2π，宽是圆柱的高2厘米，所以圆柱的侧面积 = 2π×2。