师：同学们大家好，欢迎来到张老师的数学课堂。今天我们要学习的是人民教育出版社九年级下册第28章28.1锐角三角函数的第四课时。在前面几节课，我们已经学习了锐角三角函数的相关知识。在Rt△ABC中，如果∠C = 90°，a、b分别是∠A、∠B的对边，c为斜边。根据锐角三角函数的定义，以∠A为例，∠A的正弦sinA = ∠A的对边 / 斜边 = a / c；∠A的余弦cosA = ∠A的邻边 / 斜边 = b / c；∠A的正切tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = a / b。并且我们知道，锐角三角函数揭示的是直角三角形中角与两边的比值关系。这节课，我们将继续运用所学的锐角三角函数知识，探究特殊角的三角函数值。
三角板是我们学习数学的好帮手，那一副三角板中有哪些不同度数的锐角呢？
生：有30度、45度、60度。
师：对。在学习正弦的时候，我们根据直角三角形中30度角的对边与斜边之比为1 : 2，得知sin30° = 1 / 2。根据直角三角形中45度角的对边与斜边的比值，得知sin45° = √2 / 2。这里对该知识不熟悉的同学，可以按下暂停键查阅课本第63页的相关内容。
那你能根据正弦的定义推导出sin60°的值吗？类比课本的方法，我们先画出一个含30度角的直角三角形，并把它的斜边的长记为2A。根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可以得出30度角所对的边长为A。那另一条直角边怎么求呢？
生：由勾股定理可知，60度角所对的直角边的长为√((2A)2 - A2) = √(4A2 - A2) = √3A。
师：进而可以得到60度角的正弦sin60° = 60度角的对边√3A / 斜边2A = √3 / 2。那30度、45度、60度角的余弦值和正切值呢？请同学们继续看刚才我们画的这个图。根据余弦的定义，我们可以得到30度角的余弦cos30° = 30度角的邻边√3A / 斜边2A = √3 / 2。30度角的正切tan30° = 30度角的对边A / 30度角的邻边√3A，化简后就等于√3 / 3。60度角的余弦cos60° = 60度角的邻边A / 斜边2A = 1 / 2，60度角的正切tan60° = 60度角的对边√3A / 邻边A = √3。
下面请同学们在草稿纸上画出一个含45度角的直角三角形，并类比刚才的方法，尝试求出45度角的余弦值和正切值。
（学生画图计算）
师：我们一起来看一下，在这个直角三角形中，很容易得出另一个锐角的度数也是45度。如果我们把其中一条直角边的长度设为A，根据等角对等边，可以得知另一条直角边的长度也为A。由勾股定理可以计算出斜边的长为√(A2 + A2)，化简后结果等于√2A。进而我们就可以利用45度角的余弦cos45° = 45度角的邻边A / 斜边√2A，化简后就等于√2 / 2。45度角的正切tan45° = 45度角的对边A / 邻边A = 1。这里我们记住含特殊角的两个直角三角形的三边之比1 : 2 : √3和1 : 1 : √2，也可以帮助我们快速求出这些特殊角的三角函数值。
下面请同学们和老师一起归纳出刚才我们所求出的这些锐角三角函数值。
sin30° = 1 / 2，sin45° = √2 / 2，sin60° = √3 / 2；
cos30° = √3 / 2，cos45° = √2 / 2，cos60° = 1 / 2；
tan30° = √3 / 3，tan45° = 1，tan60° = √3。
善于思考的同学，有没有从我们刚才归纳的这张表格中发现一些帮助我们记忆的规律呢？请同学们按下暂停键再来仔细观察一下。
生：30度角的正弦值和60度角的余弦值是一样的，30度角的余弦值和60度角的正弦值是一样的，45度角的正弦值等于45度角的余弦值。30度的角和60度的角是互余的关系，45度的角和45度的角也是互余的关系。并且这些正弦值和余弦值的分母都为2。正弦值的分子按顺序可以分别看作√1、√2、√3，而余弦值的分子顺序与它刚好相反。30度角的正切值√3 / 3和60度角的正切值√3的乘积刚好就是中间45度角的正切值1。
师：老师相信爱动脑筋的你在课后还能发现更多的规律，并能找到适合自己的记忆这些数值的好方法。在学习锐角三角函数定义的时候，我们就已经知道锐角的度数和它的三角函数值是一一对应的，也就是说锐角度数和它的三角函数值之间可以相互转化。下面请同学们跟老师来个小互动，老师来说，你来写，看看你能写对几个？sinα = √2 / 2，α是多少度？
生：45度。
师：cosα = √3 / 2，α是多少度？
生：30度。
师：tanα = √3，α是多少度？
生：60度。
师：既然同学们已经能很快说出对应角的三角函数值了，我们就一起来看下面这道例题。第一题，cos260° + sin260°，这里我们要注意的是sin260°表示的是(sin60°)2，也就是sin60°×sin60°。根据刚才归纳的三角函数值表可知，cos60°的值为1 / 2，sin60°的值为√3 / 2，所以原式 = (1 / 2)2 + (√3 / 2)2。在这里，(√3 / 2)2 = (√3)2 / 22 = 3 / 4。那上式就可以继续化简为1 / 4 + 3 / 4，结果等于1。
再来看第二小题，cos45° / (sin45° - tan45°)。这里的cos45°和sin45°都等于√2 / 2，tan45°的值为1。我们就可得原式 = (√2 / 2) / ((√2 / 2) - 1) = 1 - 1，结果等于0。在解决计算问题时，我们一定要找准对应角的函数值，尤其要注意区分30度和60度角的函数值，同时看清运算符号和步骤，细心应对。