师：同学们好，今天由我给大家上相似三角形的第二课时。首先，我们来了解一下这节课的学习目标。一是理解掌握平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似的证明思路和方法；二是能用上述判定定理解决问题；三是在证明定理的过程中，锻炼自己的观察、探究、猜想、证明能力，培养与他人交流合作意识，勇于表达自己的观点。
上一节课，我们学习了两个三角形相似的定义。那么，两个三角形符合什么条件就相似呢？我们知道，如果两个三角形三个角分别相等，三条边的比也相等，那么这两个三角形相似。我们还学习了平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。比如在图形中，我们可以得到(AD)比(DB)等于(EF)比(EC)，还可以得到(AD)比(AB)等于(EF)比(FC)，也能得到(BD)比(BA)等于(CE)比(CF)等，这两条直线上所截的对应线段的比是相等的。随着平行线位置的移动，我们还推导出：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。以这个图形为例，我们可以得到(AD)比(AB)等于(AE)比(AC)，也可以得到(AD)比(DB)等于(AE)比(EC)，当然也能得到(BD)比(DA)等于(CE)比(EA)等等，这些对应线段的比是相等的。
我们发现，对应线段(AD)比(AB)等于(AE)比(AC)，恰好是三角形(ADE)和三角形(ABC)两组边的比。也就是说，三角形(ADE)和三角形(ABC)有两组边的比是相等的。那么，这两个三角形会得到怎样的关系呢？同学们，你们觉得三角形(ADE)和三角形(ABC)有什么样的关系？
生：相似。
师：老师也是这么认为的。因为从形状上看，三角形(ADE)和三角形(ABC)看起来是一样的。同时，我们又知道它们有多个角相等，多条边的比也相等。上一节课我们学习了两个三角形相似的定义，什么情况下两个三角形相似？三个角分别相等，三条边的比也相等，那么这两个三角形就相似了。
那么现在我们有哪些条件，又缺哪些条件呢？首先，这两个三角形当中有一个角是公共角，(\angle A)是公共角。同时，由(DE)平行于(BC)，我们可以根据直线平行，同位角相等，得到三角形(ADE)和三角形(ABC)另外两个角也是相等的。除此之外，我们还可以得到(AD)比(AB)等于(AE)比(AC)。如果我们再能得到(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)，或者(DE)比(BC)等于(AD)比(AB)，那就好了。这样这两个三角形三个角分别相等，三条边的比又相等，这两个三角形不就相似了吗？
我们要想得到两个三角形相似，问题的关键是要得到(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)，或者(DE)比(BC)等于(AD)比(AB)。由前面的(DE)平行于(BC)，我们已经得到了(AD)比(AB)等于(AE)比(AC)。如果前面两个等式当中有一个成立，那么我们就可以得到这两个三角形的三边的比是相等的，从而得到这两个三角形是相似的。那么如何让前面这两个等式当中的其中一个等式成立呢？我们以第一个等式为例，(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)。同学们想一下，什么情况下我们可以得到线段的比是相等的？我们在上一节课当中就学习了平行线分线段成比例，所以在这里我们可以尝试一下添加平行线。我们添加的这个平行线要和线段(AE)、(AC)、(DE)、(BC)有关联，所以这里我可以尝试经过(D)点或者(E)点做平行线，在这里我选择经过(E)点做平行线。我做(EF)平行于(AB)交(BC)于(F)点，那么这样我们就可以得到(BF)比上(BC)等于(AE)比上(AC)。这时候我们发现我们得到的是(BF)比(BC)，而不是(DE)比(BC)，那么我们怎样让(DE)等于(BF)？这时新的问题出现了。
我们再来看一下图形，由已知(DE)平行于(BC)，然后我们添加了平行线(EF)平行于(AB)。四边形(DBFE)两组对边分别平行，因此它是一个平行四边形。我们再由平行四边形的对边相等，就能得到(DE = BF)。因此(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)，这个比例式是成立的，从而三边的比相等，因此两个三角形相似。
接下来我们将定理证明的过程用几何语言完整地呈现出来。首先由图形可知，(\angle A)是两个三角形的公共角，即(\angle A = \angle A)。再由(DE)平行于(BC)，根据两直线平行同位角相等，可以得到(\angle ADE = \angle B)，(\angle AED = \angle C)。那么这样一来，这两个三角形的三个角相等。接下来我们要证明三条边的比相等。
由(DE)平行于(BC)，我们还可以得到(AD)比(AB)等于(AE)比(AC)，两边的比已经相等了。我们接下来要证明的是(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)等于(AD)比(AB)。我们做辅助线，过(E)点做(EF)平行于(AB)，交(BC)于(F)点。这样一来，我们根据前面的定理就可以得到(BF)比上(BC)等于(AE)比上(AC)。我们来看一下图形，(DE)平行于(BC)是已知条件，(EF)平行于(AB)是我们做的辅助线。那么四边形(DBFE)两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，这个四边形是平行四边形。再由平行四边形的对边相等，我们得到(DE = BF)。接下来我们将(BF)用(DE)等量代换，所以我们得到(DE)比(BC)等于(AE)比(AC)。这样我们就得到了三组边的比是相等的。
这两个三角形，三个角分别相等，三条边的比也相等，由此这两个三角形是相似的。那么由(DE)平行于(BC)，我们得到了三角形(ADE)相似于三角形(ABC)。这就是我们今天讲的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。我们用几何语言来表述一下，因为(DE)平行于(BC)，所以三角形(ADE)相似于三角形(ABC)。
那么这个定理它有什么意义呢？我们今天学的这个判定两个三角形相似的定理，它的条件非常简洁，平行就能得到两个三角形相似这样一个重要的结论。为什么说两个三角形相似这个结论非常重要呢？因为在今后我们学习和解决问题当中，我们经常要由相似得到两个三角形的对应角相等、对应边的比相等，并利用这个比来求出线段的长度。我们之前学的平行线分线段成比例的基本事实以及由它推导出来的定理，所对应的线段只有(AB)和(AC)边上的线段，它和(BC)是没有关联的。通过证明两个三角形相似，我们就能够得到(DE)比(BC)与(AE)比(AC)、(AD)比(AB)建立一个等量关系。